¿Cuál es la forma de Jordan de [math] \ quad \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \ end {pmatrix} \ quad [/ math] y su base ?

Answer 1

Quora me pidió que respondiera. Nunca estudié realmente la forma de Jordan, solo la diagonalización. Por lo que puedo ver, básicamente comienzas de la misma manera. Si A = la matriz, resuelve:
[math] \ operatorname {det} (A- \ lambda I) = 0 [/ math] para los valores propios [math] \ lambda [/ math]

Haces eso para la matriz anterior, obtienes tres valores propios distintos:
[matemáticas] \ lambda_1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lambda_2 = \ frac {3+ \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lambda_2 = \ frac {3 – \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]

Cada uno de estos es un valor propio de la ecuación:
[matemáticas] Av = \ lambda v [/ matemáticas] o [matemáticas] (A- \ lambda I) v = 0 [/ matemáticas]

Sustituyendo cada valor propio en esta última ecuación y resolviendo el vector v que satisface esto, obtenemos un vector de expansión para el espacio propio para cada vector propio.

Al final de algunos cálculos tristes que hacen un seguimiento de los radicales (que omitiré, ya que es solo un trabajo duro y una PITA real para ingresar en LaTeX). usted obtiene:

[matemáticas] v_1 = (1,1,0) ^ T [/ matemáticas]

[matemáticas] v_2 = (\ frac {-1+ \ sqrt {5}} {2}, -1, 1) ^ T [/ matemáticas]

[matemáticas] v_3 = (\ frac {-1 – \ sqrt {5}} {2}, -1, 1) ^ T [/ matemáticas]

Aquí tiene 3 valores propios independientes y 3 vectores propios independientes, por lo que la matriz es realmente diagonalizable.

[matemáticas] A = PDP ^ {- 1} [/ matemáticas]

donde D es la matriz diagonal cuyas entradas diagonales son los tres valores propios, y P es la matriz con los tres vectores propios, en el mismo orden, como columnas.

Answer 2

Los valores propios de esta matriz se pueden encontrar con bastante facilidad utilizando el polinomio característico, [matemática] \ det (M- \ lambda I) = 0 [/ matemática]. Debe encontrar que esta matriz tiene tres valores propios distintos, no degenerados. Debido a que el número de valores propios (y, por lo tanto, el número de vectores propios) es igual a la dimensión de la matriz, la matriz es diagonalizable y, por lo tanto, la forma de Jordan será una matriz diagonal con los valores propios en la diagonal. Una vez que conozca los valores propios, no debería ser demasiado difícil encontrar los vectores propios, simplemente conecte un vector con componentes indeterminados en la ecuación de valores propios y resuelva el sistema de ecuaciones lineales.