Cuando expandes la expresión
[matemáticas] \ left (x ^ 6 + x ^ 4 + 2x ^ 2 + 3 + \ dfrac {4} {x} + \ dfrac {5} {x ^ 2} + \ dfrac {6} {x ^ 3} \ right) ^ 2 (x + 2) [/ math],
¿Cuáles son las diferentes formas en que puede obtener el término [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas]?
El primer paréntesis (grande) es cuadrado, por lo que puede contarlo como dos paréntesis. Eso significa que hay tres paréntesis en total. Dos corchetes grandes (idénticos) y luego uno pequeño [matemática] (x + 2) [/ matemática]. Cada término en la expansión se obtiene tomando un término de cada uno de los tres corchetes. Y todos los términos obtenidos de esta manera están ahí en la expansión.
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Entonces, para reformular mi pregunta anterior, ¿cuáles son las formas en que puede elegir un término de cada paréntesis, de modo que la potencia neta de [matemáticas] x [/ matemáticas] sea [matemáticas] 4 [/ matemáticas]?
En el primer paréntesis, proceda de manera sistemática comenzando con el primer término y pasando al último término, comprobando cada vez qué términos de los otros dos paréntesis se pueden tomar para dar [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas].
Por ejemplo, el primer término en el primer paréntesis es [matemática] x ^ 6 [/ matemática]. Para hacer que [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas], necesitamos [matemáticas] x ^ {- 2} [/ matemáticas] de los otros dos corchetes. ¿Es eso posible? Bueno, sí, podrías tomar [math] \ dfrac {5} {x ^ 2} [/ math] del segundo parche, y el término constante [math] 2 [/ math] del tercero, para obtener [math ] 10x ^ 4 [/ matemáticas]. O bien, puede tomar [matemáticas] \ dfrac {6} {x ^ 3} [/ matemáticas] del segundo parche y [matemáticas] x [/ matemáticas] del tercer paréntesis, para obtener [matemáticas] 6x ^ 4 [/ matemáticas].
Del mismo modo, el segundo término en el primer paréntesis es [matemática] x ^ 4 [/ matemática]. Entonces necesita obtener [matemáticas] x ^ 0 [/ matemáticas] de los otros dos corchetes. Puede tomar [matemáticas] 3 [/ matemáticas] del segundo y [matemáticas] 2 [/ matemáticas] de la tercera, para obtener [matemáticas] 6x ^ 4 [/ matemáticas], o [matemáticas] \ dfrac {4} { x} [/ math] del segundo y [math] x [/ math] del tercero para obtener [math] 4x ^ 4 [/ math].
Hasta ahora, el coeficiente total de [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] que tienes (sumando los coeficientes de todos los términos diferentes que tienes) es [matemáticas] 10 + 6 + 6 + 4 [/ matemáticas] .
Del mismo modo, considere cada término del primer paréntesis, para obtener todos los términos [matemáticos] x ^ 4 [/ matemáticos] diferentes, y sume todos los coeficientes para obtener la respuesta.
Si ha entendido cómo funciona realmente, puede simplificar un poco el cálculo.
El tercer paréntesis tiene solo [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Entonces, para obtener [matemática] x ^ 4 [/ matemática], puede obtener [matemática] x ^ 3 [/ matemática] de los primeros dos corchetes y multiplicarla por [matemática] x [/ matemática] del tercero, o obtener [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] de los dos primeros y multiplicarlo por [matemáticas] 2 [/ matemáticas] del tercero.
Ahora, como los dos primeros corchetes son idénticos, debe considerar solo pares de términos del primer paréntesis. En esto también, puede considerar solo ciertos primeros términos y luego multiplicar por [matemáticas] 2 [/ matemáticas], ya que los mismos términos se repetirán si continúa.
Por ejemplo, para obtener [matemática] x ^ 3 [/ matemática] de los dos primeros corchetes (que se multiplicará por [matemática] x [/ matemática] del tercer paréntesis), considere [matemática] x ^ 6 \ veces \ dfrac {6} {x ^ 3} + x ^ 4 \ times \ dfrac {4} {x} [/ math]. Ahora, si avanza, obtendrá los mismos términos (en el orden inverso de la multiplicación). Así que simplemente multiplique la suma de estos dos por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Eso da el coeficiente [matemáticas] 2 (6 + 4) [/ matemáticas].
A continuación, para obtener [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] de los dos primeros corchetes, considere [matemáticas] x ^ 6 \ veces \ dfrac {5} {x ^ 2} + x ^ 4 \ veces 3 [/ matemáticas] , multiplicado por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Agregue a esto, [math] 2x ^ 4 \ times 2x ^ 4 [/ math] (solo hay una forma de obtener esto). Ahora, todo esto se multiplica por [matemáticas] 2 [/ matemáticas] desde el tercer paréntesis. Entonces el coeficiente es [matemáticas] [2 (5 + 3) + 2 \ veces 2] \ veces 2 [/ matemáticas].
Por lo tanto, el coeficiente total de [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] es [matemáticas] 2 (6 + 4) + 2 [(5 + 3) + 2 \ veces 2] \ veces 2 = 60 [/ matemáticas].