¿Cómo demostrar que [matemáticas] \ frac {100!} {50! \, 2 ^ {50}} = 1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot \ dots \ cdot 99 [/ math]

Answer 1

Son iguales porque miden la misma cantidad:
“¿De cuántas maneras puedes dividir a 100 personas en pares (desordenados)?”

Etiquetemos a estas 100 personas como 1 a 100.

1. Considere el primer algoritmo:
– Elija la persona no emparejada con el número más bajo, diga P.
– De las personas no emparejadas restantes, elija un compañero arbitrario para P.
– Repita hasta que todos estén emparejados.

Cuando eliges un compañero para la primera persona, puedes elegir cualquiera de las otras 99 personas.
Después de haber emparejado los dos primeros, para la tercera persona, ahora puede elegir entre 97 personas.
Y así sucesivamente … entonces, el número total de emparejamientos es 99 * 97 * 95 * … * 1

2. Considere otro algoritmo para generar todos los emparejamientos:
“Permutar arbitrariamente a 100 personas y emparejar personas adyacentes”.
Este algoritmo produce muchos duplicados y eliminamos los duplicados de la siguiente manera:
– Número de formas de permutar 100 personas = 100!
– ¡Hay que dividir esto por 50! ya que podemos obtener el mismo conjunto de 50 pares ordenados permutando estos 50 pares manteniendo constante el orden dentro de los pares.
– Hay que dividir esto entre 2 ^ 50 ya que el orden en cada uno de los 50 pares no importa.
Por lo tanto, el número total de formas = 100! / (50! * 2 ^ 50)

Answer 2

Solo tenga en cuenta multiplicando cada número natural en el rango [matemática] 1-50 [/ matemática] por [matemática] 2 [/ matemática] que
[matemáticas] 50! \ cdot 2 ^ {50} = 100 !! [/ math],
donde [math] 100 !! [/ math] significa el producto de todos los números pares desde [math] 2 [/ math] hasta [math] 100 [/ math]. Entonces, como resultado de la división, obtienes el producto de todos los números impares del 1 al 100.

Answer 3

A la izquierda, verá la … nota, a la derecha tiene la nota [math] \ prod [/ math]:

Answer 4

Separemos cada término
[matemáticas]
100! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 \ dots \ dots \ dots 100
[/matemáticas]

[matemáticas] 50! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ dots \ dots \ dots 50 [/ math]

Podemos reescribir la ecuación

[matemáticas] 50! = \ frac {2} {2}. \ frac {4} {2}. \ frac {6} {2}. \ frac {8} {2} \ dots \ dots \ dots \ frac {100} {2}
[/matemáticas]

[matemáticas] 50! = \ frac {2 \ cdot4 \ cdot6 \ cdot8 \ dots \ dots \ dots 100} {2 ^ {50}} [/ math]

[matemáticas] 50! \ times 2 ^ {50} = 2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdot 8 \ dots \ dots \ dots 100 [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {100!} {50! \ times 2 ^ {50}} = \ frac {1 \ cdot2 \ cdot3 \ cdot4 \ cdot5 \ dots \ dots \ dots 100} {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdot 8 \ dots \ dots \ cdot 100}
[/matemáticas]

Al cancelar los términos pares

[matemáticas]
\ frac {100!} {50! \ times 2 ^ {50}} = 1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ dots \ dots \ dots 99
[/matemáticas]

Answer 5

Cada término en [math] 1 \ times 2 \ cdots 50 [/ math] puede duplicarse porque tenemos 50 2 para usar. Entonces el denominador es [matemáticas] 2 \ por 4 \ cdots 100 [/ matemáticas] y cancelar con el numerador da el resultado.

Answer 6

No, es muy fácil
[matemáticas] \ dfrac {[(2n)!]} {[n! × 2 ^ n]} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {[(2n) (2n-1)… .n (n-1)… .3 × 2 × 1]} {(n! × 2 ^ n)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {(1 × 3 × 5… .. (2n-1)) (2 × 4 × 6… ..2n)} {(n! × 2 ^ n)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {(1 × 3 × 5 ……. (2n-1)) 2 ^ n (1 × 2 × 3 ×… ..n)} {(n! × 2 ^ n)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {(1 × 3 × 5 × …… (2n-1)) 2 ^ n (n!)} {(n! × 2 ^ n)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] {1 × 3 × 5 ……. (2n-1)} [/ matemáticas]

Ahora ponga [matemáticas] n = 50 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {100!} {50! 2 ^ {50}} = 1.3.5 …… (2 (50) -1) = 1 × 3 × 5 ×… .99 [/ matemáticas]

Answer 7

100! = 1.2.3.4.5… .100
100! / 50! = 51.52.53.54… .100
Deje todos los números impares, hay 25 números pares:
52.54.56.58… 100
Dividirlos por 2 ^ 25:
26.27.28.29… 50
Deje todos los números impares, hay 13 números pares:
26.28.30… 50
Dividirlos por 2 ^ 13:
13.14.15… 25
Deje todos los números impares, hay 6 números pares:
14.16.18.20.22.24
Divídalos por 2 ^ 6 hojas
7.8.9.10.11.12
Divide los números pares entre 2 ^ 3:
4.5.6
Divide los números pares entre 2 ^ 2
2.3
Divide el número par por 2 ^ 1
1)
Ahora hemos generado los 50 números impares por debajo de 100. Para hacer eso necesitábamos 1 + 2 + 3 + 6 + 13 + 25 = 50 potencias de dos. QED

Answer 8

Primero escribe 50! = 1. 2. … 49. 50
y tomas el 2 de 2 ^ 50 y los colocas al lado de cada factor de
1. 2.…. 49. 50
obtienes 2. 4.…. 98. 100
¡Entonces los términos de pares pueden eliminarse con el numerador 100!
Por supuesto, para probarlo rigurosamente, no use la notación dot dot dot sino el símbolo Pi del producto.