Considere cualquier ecuación polinómica con coeficientes enteros:
[matemáticas] a_n x ^ n + \ cdots + a_1 x + a_0 = 0 [/ matemáticas].
Asumamos que x es racional. Luego podemos escribir x en la forma p / q , donde p y q son enteros relativamente primos con q distinto de cero. Vamos a conectar eso a la ecuación:
[matemáticas] a_n (p / q) ^ n + \ cdots + a_1 (p / q) + a_0 = 0 [/ matemáticas].
Para deshacerse de las fracciones, multipliquemos ambos lados por el valor distinto de cero [matemática] q ^ n [/ matemática]. Este es el resultado:
[matemáticas] a_n p ^ n + a_ {n-1} p ^ {n-1} q + \ cdots + a_1 pq ^ {n-1} + a_0 q ^ n = 0 [/ matemáticas].
Puede notar que todos los términos, excepto [matemática] a_0 q ^ n [/ matemática] son múltiplos de p . Por lo tanto, [math] a_0 q ^ n [/ math] también debe ser un múltiplo de p . Pero como p y q son relativamente primos, esto significa que p tiene que dividir [math] a_0 [/ math]. Por la misma razón, [math] q [/ math] tiene que dividir [math] a_n [/ math].
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En su caso específico, si hay alguna solución racional p / q, entonces sabemos que q debe dividir 1 y p debe dividir -10. Esto nos da solo ocho candidatos para una solución racional:
[matemáticas] \ {- 10, -5, -2, -1,1,2,5,10 \} [/ matemáticas]
Verifique los ocho manualmente, vea que ninguno de ellos es la raíz de su ecuación y listo.
Como sugiere el gráfico, la función quíntica muestra 3 raíces reales y 2 raíces complejas.