Cómo mostrar (matemáticamente) que el polinomio [matemático] x ^ 8 – x ^ 7 + x ^ 2 – x +15 [/ matemático] no tiene raíz real

Answer 1

Usando la ley de signos Descartes

[matemáticas] f (x) = x ^ 8-x ^ 7 + x ^ 2-x + 15 [/ matemáticas]; [matemáticas] 4 [/ matemáticas] los cambios de signo indican [matemáticas] 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] 4 [/ matemáticas] posibles raíces reales positivas.

[matemáticas] f (-x) = x ^ 8 + x ^ 7 + x ^ 2 + x + 15 [/ matemáticas]; [matemática] 0 [/ matemática] los cambios de signo indican [matemática] 0 [/ matemática] raíces reales negativas

Resultado: [matemáticas] 2 [/ matemáticas] o [matemáticas] 4 [/ matemáticas] raíces reales positivas, [matemáticas] 6 [/ matemáticas] o [matemáticas] 4 [/ matemáticas] raíces complejas. La regla de Descartes no proporciona una solución clara.

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[matemáticas] f (x) = x ^ 8-x ^ 7 + x ^ 2-x + 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica f (x) = x ^ 8 + x ^ 2-x ^ 7-x + 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica f (x) = x ^ 2 (x ^ 6 + 1) -x (x ^ 6 + 1) +15 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica f (x) = x (x-1) (x ^ 6 + 1) +15 [/ matemáticas]

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Caso I: [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x> 1; x-1> 0; x ^ 6 + 1> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x (x-1) (x ^ 6 + 1)> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x (x-1) (x ^ 6 + 1) +15> 15> 0 [/ matemáticas]

Caso II: [matemáticas] x <0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x <0; x-1 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x (x-1) (x ^ 6 + 1)> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x (x-1) (x ^ 6 + 1) +15> 15> 0 [/ matemáticas]

Caso III: [matemáticas] 0 <x <1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x> 0; x-1 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x (x-1) (x ^ 6 + 1) <0 [/ matemáticas]

Pero [matemáticas] 0 <x <1, \ implica x \ en {\ Q ^ +} [/ matemáticas]

[matemáticas] Entonces, x (x-1) (x ^ 6 + 1) +15> 0 [/ matemáticas]

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Todos los casos anteriores apuntan al hecho de que

[matemáticas] x (x-1) (x ^ 6 + 1) +15> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 8-x ^ 7 + x ^ 2-x + 15> 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 8 – x ^ 7 + x ^ 2 – x + 15 \ neq 0; \ forall x \ in \ R [/ math]

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Ni siquiera sé si puedo hacerlo de esta manera, lo hice por puro instinto, aquí hay toneladas de errores. Como todavía estoy tratando de aprender esto, cualquier corrección o consejo es bienvenido.

Gracias.

Answer 2

[matemáticas] x ^ 8-x ^ 7 + x ^ 2-x + 15 [/ matemáticas]
[matemáticas] = x ^ 7 (x-1) + x (x-1) +15 [/ matemáticas]
[matemáticas] = x (x-1) (x ^ 6 + 1) + 15 [/ matemáticas]

El término [matemáticas] x ^ 6 + 1 [/ matemáticas] siempre es positivo y el término [matemáticas] x (x-1) [/ matemáticas] solo es negativo en el intervalo [matemáticas] [0, 1] [/ matemáticas ] Por lo tanto, la única raíz real posible sería en este intervalo.
Ahora, el mínimo de [matemáticas] x (x-1) [/ matemáticas] en este intervalo es [matemáticas] – \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
De hecho [matemáticas] x (x-1) = x-2 \ frac {1} {2} x + (\ frac {1} {2}) ^ 2- \ frac {1} {4} [/ matemáticas] [matemáticas ] = (x- \ frac {1} {2}) ^ 2- \ frac {1} {4} \ geq – \ frac {1} {4} [/ math].
El máximo de [matemáticas] x ^ 6 + 1 [/ matemáticas] es obviamente 2.

Por lo tanto:
[matemáticas] x (x-1) \ geq – \ frac {1} {4} [/ matemáticas]
[matemáticas] x (x-1) (x ^ 6 + 1) \ geq – \ frac {1} {4} (x ^ 6 + 1) \ geq – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
Finalmente:
[matemáticas] x (x-1) (x ^ 6 + 1) + 15 \ geq 14.5> 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, no hay una raíz real.

Answer 3

Muchas maneras de hacerlo. Una manera fácil es mostrar que el polinomio siempre es positivo. Tenemos

[matemáticas] f (x) = x ^ {7} (x – 1) + x (x – 1) +15 [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) = x (x – 1) (x ^ {6} + 1) +15 [/ matemáticas]

Sabemos que [math] (x ^ {6} + 1)> 0 [/ math] para todos [math] x [/ math]

Claramente para [matemáticas] x> = 1, f (x)> = 15 [/ matemáticas]. De manera similar para [matemáticas] x <= 0, f (x)> = 15 [/ matemáticas]

Para [matemáticas] 0 [matemáticas] => x (x-1)> = -0.25 [/ matemáticas]
[matemáticas] => x (x-1) (x ^ {6} + 1)> = -0.25 (x ^ {6} + 1)> [/ matemáticas] [matemáticas] -0.25 * 2 = -0.5 [/ matemáticas]
=> [matemáticas] f (x) = x (x-1) (x ^ {6} + 1) + 15> 14.5 [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] f (x) [/ math] es positivo para todo x, por lo tanto, la ecuación no tiene raíces reales.
QED

Answer 4

Es posible que pueda usar la regla de signos de Descartes o el teorema de Sturm.

Para la regla de signos, cuenta el número de cambios de signo en los coeficientes distintos de cero. Aquí hay 4 cambios, lo que significa que hay 4, 2 o 0 raíces positivas, que no son particularmente útiles. Si cambiamos los signos de los términos impares que tenemos [matemáticas] x ^ 8 + x ^ 7 + x ^ 2 + x + 15 [/ matemáticas] no hay cambios de signos, por lo que no hay raíces negativas. Esto limita nuestro espacio de búsqueda a x> 0.

Otro resultado relacionado es el teorema de Budan, que observa los cambios que son signos de la secuencia de derivadas en un punto particular. Esto a menudo se llama teorema de Fourier (para polinomios). No parece ayudar en nuestro caso.

Answer 5

La ecuación se puede refundir como

[matemáticas] x ^ 7 (x-1) + x (x-1) +15 [/ matemáticas] Ahora sustituyendo x = 1 + y la ecuación resultante. tendrá todos los coeficientes positivos sin cambio en el signo que indica 0 raíces para y es decir para x> 1 . Awnon ha demostrado que no hay raíces negativas. Ahora la pregunta es si hay raíces reales entre x = 0 y x = 1. Entre x = 0 y x = 1 ningún término tiene la capacidad de reducir f (x) a 0 de 15. Por lo tanto, podemos concluir que no hay raíces reales.