¿Quién eres y cómo me encontraste?
Comencemos con los conceptos básicos de la teoría de grupos.
A. grupos
Definición: un grupo es una combinación de un conjunto de elementos G y una operación binaria [math] * [/ math]. Esta operación binaria toma dos elementos y produce un tercero. La operación binaria debe seguir cuatro reglas:
- G está cerrado bajo [math] * [/ math]: esto significa que la aplicación de la operación binaria en dos elementos en G produce un tercer elemento en G: [math] g_1, g_2 \ in G \ Rightarrow g_1 * g_2 \ in G [/ matemáticas].
- La operación binaria es asociativa : [matemáticas] (g_1 * g_2) * g_3 = g_1 * (g_2 * g_3) [/ matemáticas].
- El grupo contiene un elemento de identidad : [matemática] \ existe e \ en G: e * g = g * e = g \ forall g \ en G [/ matemática].
- Cada elemento en G tiene un inverso : [matemática] \ forall g \ en G \ existe g ‘\ en G: g + g’ = g ‘+ g = e [/ math]
La notación para dicho grupo es [matemáticas] (G, *) [/ matemáticas]
EJEMPLO: [matemáticas] (Z, +) [/ matemáticas]
- ¿No hay una cantidad infinita de raíces de la unidad? Si es así, ¿no debería cada número [matemática] z [/ matemática] en el plano complejo tal que [matemática] | z | = 1 [/ matemáticas] ser una raíz de la unidad?
- Deje [math] | ax ^ 2 + bx + c | <1 [/ math] para [math] x \ in (0,1). [/ Math] ¿Cómo puede uno mostrar que [math] | a | + | b | + | c | <17 [/ matemáticas]?
- Estoy tratando de volver a la velocidad de la función gamma. ¿Cuál es la integral de x ^ x de 0 a 1? Sé que es 1 – 2 ^ 2 + 1/3 ^ 3, pero ¿cómo llego a esa solución?
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- Si deja que z1 = x + iy y z2 = a + ib con z1 = z2, ¿cómo puede probar que x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2?
El conjunto de enteros con suma como operación binaria es de hecho un grupo:
- La suma de dos enteros es un entero.
- (a + b) + c = a + (b + c)
- 0 + a = a + 0 = a
- a + -a = -a + a = 0
Sin embargo, la suma sobre enteros también satisface una quinta condición:
a + b = b + a.
Esta propiedad se llama conmutatividad , y es el requisito para un grupo abeliano.
Definición : un grupo H es un subgrupo del grupo G si cada elemento en H también está en G, y ambos grupos comparten la misma operación.
Recuerde que H debe estar cerrado. Por ejemplo: [matemáticas] nZ = \ {n \ cdot z | z \ in Z \} [/ math], el conjunto de n pliegues, es además un subgrupo de [math] (Z, +) [/ math].
Ahora podemos definir operaciones de módulo en el grupo:
Definición: Dos elementos [matemática] g_1, g_2 [/ matemática] de un grupo G son módulos congruentes del subgrupo H si cumplen:
[matemáticas] g_1 – g_2 \ en H [/ matemáticas]
Si tomamos G el grupo [math] (Z, +) [/ math] y H el subgrupo [math] (nZ, +) [/ math], entonces dos elementos son congruentes exactamente cuando su diferencia es n-fold, o cuando ambos tienen el mismo resto después de dividir por n. Esta es probablemente la forma original en la que te han enseñado módulo aritmético.
Puede probar que el módulo de congruencia H está cerrado además, sin embargo, esta propiedad depende de que H sea un grupo. Si H es solo un subconjunto, no funcionará.
Ah, y escribimos esto como [matemáticas] Z / nZ [/ matemáticas] o simplemente [matemáticas] Z / n [/ matemáticas] (No es realmente división, por cierto)
Vamos a ir un paso más allá.
B. anillos
Definición: un anillo es una combinación de un grupo [matemática] (G, *) [/ matemática] y una operación binaria [matemática] \ estrella [/ matemática], que satisface las siguientes cuatro reglas:
- [math] (G, *) [/ math] está cerrado en [math] \ star [/ math].
- [math] \ star [/ math] es asociativo.
- [math] (G, *) [/ math] contiene un elemento de identidad sobre [math] \ star [/ math].
Tenga en cuenta que no exigimos elementos inversos. - [math] \ star [/ math] es distributivo sobre [math] * [/ math]: [math] (g_1 * g_2) \ star g_3 = (g_1 \ star g_3) * (g_2 \ star g_3) [/ math]
Este anillo está escrito como [math] (G, *, \ star) [/ math]
Y probablemente notó que [math] (Z, +, \ cdot) [/ math] coincide perfectamente con la descripción.
Una cosa mala de [math] (Z, +, \ cdot) [/ math] es la falta de un inverso para cada elemento. Sin embargo, [math] (R, +, \ cdot) [/ math] tiene un inverso para cada elemento que contiene, por lo que lo llamamos un campo .
Un anillo puede tener un anillo, pero generalmente tiene algo más especial.
Definición: un ideal I es una sustitución de un anillo G que se cierra bajo multiplicación con cada elemento de G.
Por ejemplo: multiplicar un número entero aleatorio con un n-fold siempre produce un n-fold, lo que hace que [math] (nZ, +, *) [/ math] sea un ideal.
Ahora, si redefinimos la congruencia como
[matemáticas] g_1 – g_2 \ en I [/ matemáticas]
con I un ideal, entonces la congruencia también se cierra bajo multiplicación. Y sí, tiene que ser un ideal para eso. Simplemente tomar un subring no funciona.
¿Sigues conmigo? Bueno. Eres un acérrimo.
C. Anillos polinomiales
Un ejemplo de un anillo es el anillo de polinomas, escrito como F [x]:
[matemáticas] F [x] = \ {a_nx ^ n +… + a_1x + a_0 [/ matemáticas] [matemáticas] | a_n, …, a_1, a_0 \ en F \} [/ math]
Aquí, F es un campo. De ahora en adelante, usaremos principalmente los números reales, R, y el anillo polinomial será [matemático] R [x] [/ matemático]. Recuerde que también podemos usar otros campos.
Una segunda cosa a tener en cuenta es que x no es un elemento de R. Es solo una notación formal para especificar una tupla (n + 1). Existe una sustitución, que se llama función polinómica .
El anillo polinomial cumple todos los requisitos. Además, cada polinoma p se puede usar para crear un ideal: cada elemento del anillo multiplicado por p es un múltiplo de p. Debido a esto, podemos calcular congruencias módulo p, y llamamos a este anillo de congruencias [matemáticas] F [x] / pF [x] [/ matemáticas] o simplemente [matemáticas] F / p [/ matemáticas].
¿Ves a dónde voy?
Tomemos un ejemplo: [matemática] p = x ^ 2 + 1 [/ matemática] y [matemática] F = R [/ matemática]. Entonces el anillo se puede escribir como [matemáticas] R / (x ^ 2 + 1) [/ matemáticas]
Ahora afirmo que este anillo es un campo. Lo es, y puedo probarlo, pero la prueba en sí misma toma alrededor de 15 conjeturas más y 3 horas. Por ahora, suponga que es un campo, al menos hasta que aprenda matemáticas discretas en la universidad.
Debido a la división euclidiana, cada polinoma p se puede escribir como
[matemáticas] p = q (x ^ 2 + 1) + hacha + b [/ matemáticas], o
[matemática] p – ax – b = q (x ^ 2 + 1) \ in (x ^ 2 + 1) R [x] [/ matemática]
[matemática] p = ax + b \ mod (x ^ 2 + 1) R [x] [/ matemática]
Cada polinoma es congruente con un módulo polinómico lineal [matemático] (x ^ 2 + 1) R [x] [/ matemático]
Si ahora sustituimos cada polinoma con el polinoma lineal congruente, es fácil ver que [math] R / (x ^ 2 + 1) [/ math] es solo un conjunto de polinomas lineales, con la suma definida como siempre, así como multiplicación. Con una regla extra:
[matemáticas] x ^ 2 = (x ^ 2 + 1) – 1 = 0 – 1 = -1 \ mod R / (x ^ 2 + 1) [/ matemáticas]
Entonces:
[matemáticas] R / (i ^ 2 + 1) = \ {ai + b | a \ en R, b \ en R, i ^ 2 = -1 \} [/ matemáticas]
Lo cual es idéntico a la definición de números complejos.
Esto es solo un repaso rápido, ya que las herramientas que necesita para comprender realmente tardan aproximadamente 20 horas en impartirse en nuestra universidad, en un curso especializado sobre esto. No dude en hacer preguntas si algo no está claro.
Uf. Gracias por preguntar.