[matemáticas] I = \ displaystyle \ int_0 ^ 1 x ^ x \, dx = \ displaystyle \ int_0 ^ 1 e ^ {x \ log x} \, dx [/ math]
[matemáticas] I = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n!} \ displaystyle \ int_0 ^ 1 (x \ log x) ^ n \, dx [/ math]
Deje [math] x = e ^ {- t} \ Rightarrow dx / dt = -e ^ {- t} [/ math].
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ int_0 ^ 1 (x \ log x) ^ n \, dx & = \ displaystyle \ int _ {\ infty} ^ 0 (e ^ {- t} (-t)) ^ n (-e ^ {- t}) \, dt \\ & = \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} (-1) ^ nt ^ ne ^ {- (n + 1) t} \, dt \ end { alinear} [/ math]
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Sea [math] (n + 1) t = u \ Rightarrow dt / du = 1 / (n + 1) [/ math].
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} (-1) ^ nt ^ ne ^ {- (n + 1) t} \, dt & = \ dfrac {(- 1) ^ n} {n + 1} \ int_0 ^ {\ infty} \ left (\ dfrac {u} {n + 1} \ right) ^ ne ^ {- u} du \\ & = \ dfrac {(- 1) ^ n} {(n + 1) ^ {n + 1}} \ Gamma (n + 1) \\ & = (-1) ^ n \ dfrac {n!} {(n + 1) ^ {n + 1}} \ end {align} [/ math]
Por lo tanto,
[matemáticas] \ begin {align} I & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n!} \ times (-1) ^ n \ dfrac {n!} {(n + 1) ^ {n + 1}} \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {(- 1) ^ n} {(n + 1) ^ {n + 1}} \\ & = 1 – \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 3} – \ cdots \ end {align} [/ math]