Encontrar las intersecciones X e Y
Encontrar la intersección en y es fácil, solo conecte [math] x = 0 [/ math].
[matemáticas] 2 (0) ^ 2 + 8 (0) – 10 = -10 [/ matemáticas]
Por lo tanto, la intersección en y es -10.
Encontrar la intersección x es equivalente a resolver [matemáticas] 2x ^ 2 + 8x – 10 = 0 [/ matemáticas] para x. Esto puede hacerse de la siguiente manera
[matemáticas]
\ begin {align}
2x ^ 2 + 8x – 10 & = 0 \\
2 (x ^ 2 + 4x – 5) & = 0 \\
x ^ 2 + 4x – 5 = 0 \\
(x + 5) (x – 1) = 0
\ end {alinear}
[/matemáticas]
Esta ecuación tiene dos soluciones, [matemáticas] x = -5, \ 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, las dos intersecciones en x de [matemáticas] 2x ^ 2 + 8x – 10 [/ matemáticas] están en -5 y 1.
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Encontrar el vértice
Para encontrar el vértice, tenemos que poner la ecuación en la forma [matemáticas] f (x) = a (x – k) ^ 2 + h [/ matemáticas], en cuyo caso el vértice será el punto [matemáticas] ( k, h) [/ matemáticas].
[matemáticas]
\ begin {align}
2x ^ 2 + 8x – 10 & = 2 (x ^ 2 + 4x – 5) \\
& = 2 (x ^ 2 + 4x + 4 – 4 – 5) \\
& = 2 \ left ((x + 2) ^ 2 – 9 \ right) \\
& = 2 (x + 2) ^ 2 – 18
\ end {alinear}
[/matemáticas]
De esto vemos que [matemática] k = -2 [/ matemática] y [matemática] h = -18 [/ matemática]. Por lo tanto, el vértice es el punto [matemáticas] (-2, -18) [/ matemáticas].
Encontrar el rango
Para encontrar el rango, pensemos en cómo se ve nuestra función. Lo pensaremos en forma de vértice ([matemáticas] f (x) = 2 (x + 2) ^ 2 – 18 [/ matemáticas]).
Sabemos que [math] (x + 2) ^ 2 [/ math] siempre es positivo para todos los valores de [math] x [/ math], por lo tanto, el mínimo (x + 2) ^ 2 será cuando [math ] x = -2 [/ math], en cuyo caso [math] (x + 2) ^ 2 = 0 [/ math].
Entonces, si el valor mínimo [matemático] (x + 2) ^ 2 [/ matemático] puede ser alguna vez 0, entonces ¿cuál es el valor mínimo [matemático] 2 (x + 2) ^ 2 – 18 [/ matemático] puede alguna vez ¿ser? Bueno, cuando conectamos [matemática] x = -2 [/ matemática], obtenemos -18, entonces el mínimo de nuestro gráfico es [matemática] y = -18 [/ matemática].
¿Cómo sabemos que es un mínimo? [matemáticas] (x + 2) ^ 2 [/ matemáticas] siempre es positivo, por lo que significa que siempre será mayor que su valor mínimo. Por lo tanto, dado que el mínimo es [matemática] -18 [/ matemática] y [matemática] 2 (x + 2) ^ 2 – 18 [/ matemática] crece sin límite (es decir, se hace infinitamente grande a medida que x se hace infinitamente grande), podemos concluir que el rango de la función es [math] [-18, \ infty) [/ math].
