Si deja que z1 = x + iy y z2 = a + ib con z1 = z2, ¿cómo puede probar que x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2?

Answer 1

Dejar

[matemáticas] z_1 = x_1 + i y_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z_2 = x_2 + i y_2 [/ matemáticas]

Asumiremos que [math] z_1, z_2 [/ math] son ​​complejas, [math] x_1, y_1, x_2, y_2 [/ math] son ​​reales.

Queremos mostrar que si [matemática] z_1 = z_2 [/ matemática], entonces no solo [matemática] x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2 = x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2 [/ matemática] sino una [matemática] x_1 mucho más fuerte = x_2 [/ matemática] y [matemática] y_1 = y_2. [/ matemática] A esto le llamamos equiparar partes reales e imaginarias respectivas, y es una forma de obtener dos ecuaciones reales de una sola ecuación compleja.

Suponer

[matemáticas] x_1 + i y_1 = x_2 + i y_2 [/ matemáticas]

Eso significa

[matemáticas] (x_1 – x_2) + i (y_1 – y_2) = 0 [/ matemáticas]

Las magnitudes al cuadrado de las cosas iguales son iguales:

[matemáticas] (x_1 – x_2) ^ 2 + (y_1 – y_2) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Como ambas diferencias son reales, sus cuadrados son cero o positivos. Por lo tanto, deben ser cero para agregar a cero. Concluimos para [matemática] real x_1, y_1, x_2, y_2, [/ matemática]

[matemáticas] x_1 + i y_1 = x_2 + i y_2 [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] x_1 = x_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] y_1 = y_2 [/ matemáticas]

Como [math] z_1 = z_2 [/ math], sus respectivas partes reales y partes imaginarias son las mismas, al igual que su magnitud al cuadrado.

Answer 2

SI x + iy = a + ib

LUEGO ,

x = y Y a = b

LUEGO ,

x² + y²

= a² + b²

¡PERO lo contrario NO ES NECESARIAMENTE VERDADERO!

SI (x, y) = (3,4) Y (a, b) = (4,3)

ENTONCES,

x² + y² = a² + b²

PERO ,

x + iy = 3 + 4i ≠ (a + ib) = 4 + 3i

Answer 3

Suponga que está parado en el origen de un plano xy. Te mueves 2 pasos hacia el norte y 3 pasos hacia el oeste. Ahora estás en el punto M. ¿Hay alguna posibilidad de que moviendo ‘a’ pasos hacia el norte y ‘b’ pasos hacia el oeste (a + ib) pero (a, b) no es igual a (2,3) que puedas alcanzar M? ? NO. Significa que si quieres llegar allí debes moverte 2N y 3W. Si z1 = z2, entonces significa a = x y b = y.

Answer 4

Si se va a demostrar, la mejor manera es tomar módulos a ambos lados de la ecuación.

Answer 5

z1 = z2 implica x + iy = a + ib.

Equiparar partes reales e imaginarias

x = ay e = b

Por lo tanto, se deduce que x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2

Answer 6

El mismo punto, las mismas coordenadas en el plano, la misma distancia desde / hasta el origen.