Deje [math] | ax ^ 2 + bx + c | <1 [/ math] para [math] x \ in (0,1). [/ Math] ¿Cómo puede uno mostrar que [math] | a | + | b | + | c | <17 [/ matemáticas]?

Answer 1

George, gracias por A2A. Aunque este problema es elemental, es bastante desafiante.

Primero reemplace todo [math] <[/ math] por [math] \ leq [/ math], ya que no importa para este problema, sin embargo, aclara las cosas.

Motivación.
Intuitivamente, si [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] ambas positivas o negativas no hay posibilidad de obtener [matemática] \ izquierda | a \ derecha | + \ izquierda | b \ derecha | + \ left | c \ right | [/ math] grande . Por ejemplo, suponga que [math] a \ geq 0 [/ math] y [math] b \ geq 0 [/ math].
Al elegir [math] x = 1 [/ math] verá [math] \ left | a + b + c \ right | \ leq 1 [/ math]. Implica que [math] a + b \ leq 2 [/ math] (la igualdad se alcanzará si [math] c = -1 [/ math]).
Por otro lado, tomando [matemáticas] b = -a [/ matemáticas] uno ve que las condiciones para [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] le dan lo mismo . En este caso, un punto interesante se convierte en [matemática] x = \ frac {1} {2} [/ matemática] donde el valor absoluto de la función cuadrática alcanza su máximo local .

Las observaciones anteriores conducen a lo siguiente solución :

Como [math] \ left | ax ^ 2 + bx + c \ right | \ leq 1 [/ math] para todos [math] 0 \ leq x \ leq 1 [/ math], se cumple en particular para [math] x = 0, 1, \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

Luego, para [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] obtenemos [matemáticas] \ left | c \ right | \ leq 1 [/ matemáticas],
para [math] x = 1 [/ math] obtenemos [math] \ left | a + b + c \ right | \ leq 1 [/ matemáticas],
y para [math] x = \ frac {1} {2} [/ math] obtenemos [math] \ bigg | \ frac {a} {4} + \ frac {b} {2} + c \ bigg | \ leq 1 [/ math] o, equivalentemente, [math] \ bigg | a + 2b + 4c \ bigg | \ leq 4. [/ math]

Ahora, si mostramos que el valor máximo de [matemáticas] \ left | a \ right | + \ left | b \ right | + \ left | c \ right | [/ math] bajo estas 3 restricciones es [math] 17 [/ math] hemos terminado.

Geométricamente, cada una de estas restricciones define una región entre dos planos y la intersección de tres de estas regiones define un poliedro.
Al restringir a octantes individuales (de hecho, mediante un razonamiento fácil, uno necesita un máximo de dos de ellos) podemos reducir la maximización de [matemáticas] | a | + | b | + | c | [/ math] en el poliedro al problema de programación lineal estándar. En particular, el máximo se alcanzará en uno de los vértices del poliedro.

Bueno, este es un enfoque estándar.

Sin embargo, en este caso podemos recurrir al siguiente truco barato con desigualdades triangulares:

[matemáticas] \ left | a \ right | = \ left | 2a + 2b + 2c- (a + 2b + 4c) + 2c \ right | \ leq 2 \ left | a + b + c \ right | + \ left | a + 2b + 4c \ right | +2 \ left | c \ right | \ leq 2 + 4 + 2 = 8. [/ math]

[matemáticas] \ left | b \ right | = \ left | a + 2b + 4c – (a + b + c) -3c \ right | \ leq \ left | a + 2b + 4c \ right | + \ left | a + b + c \ right | +3 \ left | c \ right | \ leq 4 + 1 + 3 = 8. [/ Math]

Ahora teniendo en cuenta que [matemáticas] | c | \ leq 1 [/ math] obtenemos
[matemáticas] \ left | a \ right | + \ left | b \ right | + \ left | c \ right | \ leq 8 + 8 + 1 = 17. [/ math] [math] \ blacksquare [/ math]

PD Uno puede convencerse fácilmente de que este límite es agudo eligiendo, por ejemplo, [matemáticas] a = 8, b = -8, c = 1 [/ matemáticas]. En este caso contiene: [matemáticas] \ left | a \ right | + \ left | b \ right | + \ left | c \ right | = 17 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ izquierda | 8x ^ 2-8x + 1 \ derecha | \ leq 1 [/ math] para [math] 0 \ leq x \ leq 1 [/ math].