Cómo resolver 2 ^ x = x ^ 2 para sus tres soluciones reales

Answer 1

Para encontrar la primera raíz, solo tome el logaritmo de ambos lados y reorganice:

[matemáticas] x \ ln 2 = 2 \ ln x, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ ln x} {x} = \ dfrac {\ ln 2} {2}, [/ matemáticas]

del cual lees el resultado [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].

Para encontrar la segunda raíz, multiplique la primera línea de arriba por 2 y continúe:

[matemáticas] x (2 \ ln 2) = 4 \ ln x, [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ ln 4 = 4 \ ln x, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {\ ln x} {x} = \ dfrac {\ ln 4} {4}, [/ matemáticas]

del cual lees el resultado [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas].

Finalmente, para encontrar la tercera raíz, primero tome la raíz cuadrada de la ecuación original, pero elija la raíz cuadrada negativa en el lado derecho:

[matemáticas] x = – (\ sqrt {2}) ^ x, [/ matemáticas]
[matemáticas] x = – \ exp (x \ textstyle \ frac {1} {2} \ ln 2), [/ matemáticas]
[matemáticas] x \ exp (-x \ textstyle \ frac {1} {2} \ ln 2) = -1, [/ matemáticas]
[matemáticas] (- x \ textstyle \ frac {1} {2} \ ln 2) \ exp (-x \ textstyle \ frac {1} {2} \ ln 2) = \ textstyle \ frac {1} {2} \ ln 2, [/ matemáticas]
[matemáticas] -x \ textstyle \ frac {1} {2} \ ln 2 = {\ rm W} (\ textstyle \ frac {1} {2} \ ln 2), [/ math]
[matemáticas] x = – \ dfrac {2} {\ ln 2} {\ rm W} (\ textstyle \ frac {1} {2} \ ln 2), [/ matemáticas]

donde [math] W (z) [/ math] es la función W de Lambert, definida implícitamente por [math] z = W (z) \ exp (W (z)) [/ math].

Sin embargo, no sé cómo puedes demostrar que este es el conjunto completo de raíces reales de esta ecuación.

Answer 2

Para complementar la respuesta de Viktor T. Toth sobre cómo obtener las raíces, puede probar que la ecuación tiene como máximo 3 raíces de la siguiente manera.

Sea [math] f (x) = x ^ 2 – 2 ^ x [/ math]. Entonces [matemáticas] f ‘(x) = 2x – ln (2) 2 ^ x [/ matemáticas] y [matemáticas] f’ ‘(x) = 2 – ln (2) ^ 22 ^ x [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que todas estas funciones son continuas sobre R.

[math] f ” [/ math] tiene como máximo una raíz. Eso significa que [math] f ‘[/ math] tiene como máximo 2 raíces (porque es monótono antes y después de la raíz de [math] f’ ‘[/ math].) De manera similar, ya que [math] f’ [/ math] tiene como máximo 2 raíces, [matemática] f [/ matemática] se puede dividir en como máximo tres partes monótonas. Por lo tanto, tiene como máximo 3 raíces.