¿Cómo se puede probar que [matemáticas] \ prod \ limits_ {k = 1} ^ {n-1} \ sin \ left (\ frac {k \ pi} {n} \ right) = \ frac {n} {2 ^ {n-1}} [/ matemáticas]?

Answer 1

Primero permítame contarle acerca de una propiedad verdaderamente hermosa de polígonos regulares: para un polígono [matemático] n [/ matemático] regular con unidad de ‘radio’, el producto de todas las longitudes desde un nodo a los demás siempre es igual a [matemático] n [/ matemáticas].

Para probar esto, coloquemos este [matemático] n [/ matemático] -polígono en el círculo de la unidad compleja, como se ilustra para el hexágono a continuación:

Aquí los nodos del hexágono son las 6 raíces de la unidad, que resuelven [matemática] z ^ 6 = 1 [/ matemática], para lo cual [matemática] z = e ^ {\ tfrac {2iπk} 6} \ qquad \ messagesf { , con:} k = 0,1, .., 5 [/ matemáticas]

La longitud de cada línea roja corresponde entonces con [matemática] | 1-e ^ {\ tfrac {2iπk} n} | [/ matemática], el módulo de la diferencia compleja entre cada raíz unitaria y [matemática] z = 1 [/ matemáticas] (el nodo más a la derecha). Se puede demostrar que:

[matemática] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} (1 – {\ xi} ^ k) = n \ qquad \ textsf {con} \ qquad \ xi = e ^ {\ tfrac {2iπ} n} [/matemáticas]

para lo cual se proporciona una prueba al final de esta respuesta.

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Ahora usaremos esta propiedad, para encontrar la prueba requerida. Primera nota que:

[matemáticas] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} (1 – {\ xi} ^ k) = n = \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} (1 – {\ xi} ^ {-k}) [/ matemáticas]

Multiplicar estos dos productos, y algunas manipulaciones algebraicas, arrojará el resultado final:

[matemáticas] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} \ left ((1 – {\ xi} ^ k) (1 – {\ xi} ^ {- k}) \ right) = n ^ 2 [ /matemáticas]

[matemáticas] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} (2-2 \ cos (\ tfrac {2πk} n)) = n ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} 4 \ sin ^ 2 (\ tfrac {πk} n) = n ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} 2 \ sin (\ tfrac {πk} n) = n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} \ sin (\ tfrac {πk} n) = \ frac {n} {2 ^ {n-1}} [/ matemáticas]

QED

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Prueba de la propiedad del polígono.

El polinomio [matemático] x ^ n-1 [/ matemático] se puede reescribir de dos maneras familiares:

• [matemáticas] x ^ n-1 = \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} (x – {\ xi} ^ k) [/ matemáticas]
• [matemáticas] x ^ n-1 = (x-1) \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} x ^ k [/ matemáticas]

Al igualarlos y dividirlos entre [math] (x-1) [/ math], se obtiene:

[matemáticas] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} (x – {\ xi} ^ k) = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} x ^ k [/ matemáticas]

Para [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} (1 – {\ xi} ^ k) = n [/ matemáticas]

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Gráficos por Gilles Castel

Answer 2

Usando la identidad de Euler, sabemos que:
[matemáticas] \ sin {x} = \ dfrac {e ^ {ix} – e ^ {- ix}} {2i} [/ matemáticas]

[matemáticas] => \ sin {\ dfrac {k \ pi} {n}} = \ dfrac {e ^ {i \ frac {k \ pi} {n}} – e ^ {- i \ frac {k \ pi } {n}}} {2i} [/ matemáticas]

[matemáticas] => \ sin {\ dfrac {k \ pi} {n}} = e ^ {i \ frac {k \ pi} {n}} * (1 – e ^ {- 2i \ frac {k \ pi } {n}}) [/ matemáticas] [matemáticas] * \ dfrac {1} {2i} [/ matemáticas]

Así, la ecuación original es producto de estos 3 términos. Consideremos cada uno. El primer término es:

[matemática] \ prod \ limits_ {k = 1} ^ {n-1} e ^ {i \ frac {k \ pi} {n}} [/ matemática]

[matemáticas] = e ^ {\ frac {i \ pi (1 + 2 + .. + (n-1))} {n}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {\ frac {i \ pi (n-1)} {2}} = (e ^ {\ frac {i \ pi} {2}}) ^ {n-1} = i ^ { n-1} [/ matemáticas] .. (1)

El tercer término es:
[matemáticas] \ prod \ limits_ {k = 1} ^ {n-1} \ dfrac {1} {2i} = (\ dfrac {1} {2i}) ^ {n-1} [/ matemáticas]… (2 )

Multiplicando (1) y (2), obtenemos:
[matemáticas] \ dfrac {1} {2 ^ {n-1}} [/ matemáticas]… (3)

El segundo término es:
[matemáticas] \ prod \ limits_ {k = 1} ^ {n-1} (1 – e ^ {- 2i \ dfrac {k \ pi} {n}}) [/ matemáticas]

= [matemática] \ prod \ limits_ {k = 1} ^ {n-1} (1 – \ cos {\ dfrac {2k \ pi} {n}}) [/ matemática]

Según el teorema de DeMoivre, cada uno de los términos [matemáticas] \ cos {\ dfrac {2k \ pi} {n}} [/ matemáticas] son ​​la enésima raíz de la unidad, excepto 1 en sí. La enésima raíz es:
[matemáticas] x ^ n = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] => (x-1) (1 + x + x ^ 2 + .. x ^ {n-1}) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el producto anterior es equivalente a la ecuación:
[matemáticas] (1 + x + x ^ 2 + .. x ^ {n-1}) [/ matemáticas]
Poniendo [math] x = 1 [/ math] obtenemos [math] n [/ math].

Multiplicando con (3) obtenemos.

[matemáticas] \ frac {n} {2 ^ {n-1}} [/ matemáticas]

QED

Answer 3

Consideremos dos casos 1) [matemática] n [/ matemática] es impar 2 ) [matemática] n [/ matemática] es par.
En ambos casos tenemos:

[matemáticas] \ sin \ frac {i \ pi} {n} \ sin \ frac {(ni) \ pi} {n} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ sin \ frac {i \ pi} {n} \ sin \ left (\ pi – \ frac {i \ pi} {n} \ right) [/ math] = [math] \ sin ^ 2 \ left (\ frac {i \ pi} {n} \ right) = \ frac {1 – \ cos \ frac {2 i \ pi} {n}} {2} [/ math]

En el primer caso, [math] n-1 [/ math] es par, y [math] \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {n-1} \ sin \ frac {i \ pi} {n} [/ math] es el producto de [math] \ frac {n-1} {2} [/ math] de dichos productos por pares.

En el segundo caso, [matemática] n-1 [/ matemática] es impar, y [matemática] \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {n-1} \ sin \ frac {i \ pi} {n} [/ matemáticas] es el producto de
[matemática] \ frac {n-2} {2} [/ matemática] tales productos por pares y un término en el medio, que es solo [matemática] \ sin (\ frac {\ frac {n} {2} \ pi} {n}) = \ sin (\ frac {\ pi} {2}) = 1 [/ math]

Entonces obtenemos:

[matemática] \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {n-1} \ sin \ frac {i \ pi} {n} = \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {K} \ frac {1 – \ cos \ frac {2 i \ pi} {n}} {2} [/ math] = [math] 2 ^ {- K} \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {K} (1 – \ cos \ frac {2 i \ pi} {n}) [/ math] (*) ,

donde [matemática] K = \ frac {n-1} {2} [/ matemática] si [matemática] n [/ matemática] es impar, y [matemática] K = \ frac {n-2} {2} [/ matemáticas] de lo contrario.

Ahora recuerde que [matemáticas] \ cos \ frac {2k \ pi} {n} = \ frac {e ^ {\ frac {2ki \ pi} {n}} + e ^ {- \ frac {2ki \ pi} {n }}} {2} [/ matemáticas].

Significa que la [math] n [/ math] -th unidad raíz [math] e ^ {\ frac {2ik \ pi} {n}} [/ math] y [math] e ^ {- \ frac {2ik \ pi} {n}} [/ math] son ​​las soluciones de la ecuación cuadrática [math] x ^ 2 – 2 \ cos \ frac {2k \ pi} {n} x + 1 = 0. [/ math]
En el primer caso, [matemática] k [/ matemática] va de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] \ frac {n-1} {2} [/ matemática] y cada [matemática] n [/ matemática ] -th raíz de la unidad, excepto [math] 1 [/ math] satisface exactamente una de estas ecuaciones cuadráticas.

En el segundo caso, [matemática] i [/ matemática] va de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] \ frac {n-2} {2} [/ matemática] y cada [matemática] n [/ matemática ] -th raíz de la unidad, excepto [math] \ pm 1 [/ math] satisface exactamente una de estas ecuaciones cuadráticas.

Eso produce la siguiente factorización para el polinomio [matemática] x ^ n -1 [/ matemática].
En el primer caso:
[matemática] x ^ n -1 = (x-1) \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {\ frac {n-1} {2}} (x ^ 2 – 2 \ cos \ frac {2i \ pi } {n} x + 1) [/ matemáticas]
En el segundo caso:
[matemáticas] x ^ n -1 = (x ^ 2-1) \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {\ frac {n-2} {2}} (x ^ 2 – 2 \ cos \ frac {2i \ pi} {n} x + 1) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [math] \ frac {x ^ n-1} {x-1} = x ^ {n-1} + x ^ {n-2} + \ ldots + 1 [/ math]

Divida en ambos casos ambos lados de las ecuaciones por [matemática] (x-1) [/ matemática] y conecte [matemática] x = 1. [/ Matemática]

En el primer caso obtenemos:

[matemáticas] \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {\ frac {n-1} {2}} 2 (1 – \ cos \ frac {2 i \ pi} {n}) = 2 ^ {\ frac { n-1} {2}} \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {\ frac {n-1} {2}} (1 – \ cos \ frac {2 i \ pi} {n}) = n [ /matemáticas]

En el segundo caso obtenemos:
[matemáticas] 2 \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {\ frac {n-2} {2}} 2 (1 – \ cos \ frac {2 i \ pi} {n}) = 2 ^ {\ frac {n} {2}} \ prod \ limits_ {i = 1} ^ {\ frac {n-2} {2}} (1 – \ cos \ frac {2 i \ pi} {n}) = n [/ matemáticas]

Combinando estas dos fórmulas con (*) se obtiene el resultado requerido.

Answer 4

G = [matemáticas] \ prod ^ {n-1} _ {k = 1} (sin (pi * k / n)) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que [math] U (cos (x)) = sin (nx) / sin (x) [/ math], donde [math] U (x) [/ math] es el polinomio de Chebyshev del segundo tipo. Si [matemática] x = pi * k / n, k = 1,…, n-1 [/ matemática] entonces [matemática] sin (nx) = sin (pi * k) = 0 => U (cos (pi * k / n) = 0; [/ matemáticas]

[matemáticas] => U (cosx) = 0 [/ matemáticas] para

[matemáticas] x = pi * k / n, [/ matemáticas]

es decir

[math] cos (pi * k / n) [/ math] es la raíz de [math] U (cosx) [/ math]

[matemáticas] => U (cosx) = C * (x – cos (pi / n)) * (x – cos (2 * pi / n)) *… * (x – cos ((n-1) * pi / n)) [/ matemáticas]

Por definición [matemática] U (x), C = 2 ^ {n-1} [/ matemática]

Nota, [matemáticas] U (1) * U (-1) = C ^ 2 * [/ matemáticas] [matemáticas] \ prod ^ {n-1} _ {k = 1} (1-cos (pi * k / n)) * (1 + cos (pi * k / n)) [/ matemáticas]

[matemáticas] = C ^ 2 * \ prod ^ {n-1} _ {k = 1} (1-cos ^ 2 (pi * k / n)) = C ^ 2 * G ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] => G = sqrt (U (-1) * U (1)) / C [/ matemáticas]

[matemáticas] U (1) = U (cos (0)) = lim_ {x-> 0} sin (nx) / sin (x) = n [/ matemáticas]

[matemáticas] U (-1) = U (cos (pi)) = lim_ {x-> pi} sin (nx) / sin (x)) = n [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] G = sqrt (n ^ 2) / C = n / C = n / 2 ^ {n-1} [/ matemáticas]