¿Qué tan importante es la teoría de la representación para la geometría algebraica y la topología algebraica?

Answer 1

A veces bromeo diciendo que lo único que los matemáticos realmente saben hacer es álgebra lineal, y hacemos todo lo demás tratando de reducir las preguntas más difíciles a álgebra lineal. (En realidad, como se me recordó recientemente, a veces también sabemos cómo hacer combinatoria, por lo que a veces podemos evitar reducir las preguntas más difíciles a combinatoria).

La teoría de la representación y su compañera estrechamente relacionada, la teoría de Lie, son solo versiones de álgebra lineal de nivel de posgrado, y dado que reducir las preguntas difíciles a álgebra lineal es excelente, también lo son la teoría de la representación y la teoría de Lie. Todo matemático debe saber al menos un poco de teoría de la Mentira porque es un tema absolutamente central en matemáticas que ocurre en todas partes.

Más filosóficamente, creo que la distinción entre diferentes campos de las matemáticas es mucho más artificial de lo que parece a primera vista. Las matemáticas son algo que puedes abordar desde tantos puntos de vista, y en mi opinión, es insoportablemente limitante no echar un vistazo a cada uno de los que puedes encontrar: topología algebraica, geometría algebraica, geometría diferencial, teoría de números, teoría de representación, combinatoria, análisis, lo que sea. Aprende un poco de todo.

En cualquier caso, aquí hay dos clases de relaciones entre la teoría de la representación / teoría de la mentira y la topología algebraica / geometría algebraica, fuera de mi cabeza.

Paquetes principales

En la topología algebraica, para cualquier grupo topológico [matemática] G [/ matemática], hay un espacio asociado [matemática] BG [/ matemática] llamado el espacio de clasificación de [matemática] G [/ matemática] tal que las clases de homotopía [matemática] X \ a BG [/ math] de mapas desde un espacio [math] X [/ math] a [math] BG [/ math] corresponden a clases de objetos de isomorfismo llamados principales [math] G [/ math] -bundles sobre [ matemáticas] X [/ matemáticas].

Cuando [math] G = O (n) [/ math] un paquete principal resulta ser los mismos datos que un paquete de vectores reales [math] n [/ math] -dimensional, y cuando [math] G = U (n ) [/ math] un paquete principal resulta ser los mismos datos que un paquete de vector complejo dimensional [math] n [/ math]. Por lo tanto, el estudio de los paquetes de vectores está estrechamente relacionado con el estudio de los espacios de clasificación [matemática] BO (n) [/ matemática] y [matemática] BU (n) [/ matemática].

Los paquetes principales y los paquetes de vectores tienen invariantes unidos a ellos llamados clases características que corresponden a las clases de cohomología en la cohomología de los espacios de clasificación, por ejemplo, [math] BO (n) [/ math] y [math] BU (n) [/ math] ( los estándares son las clases Stiefel-Whitney, las clases Pontryagin y las clases Chern). Ahora, puede calcular estos grupos de cohomología sin conocer demasiado la teoría de la mentira o la teoría de la representación, pero si conoce un poco más la teoría de la mentira y la teoría de la representación, de hecho, es posible un cálculo uniforme racional: resulta que si [matemáticas] K [ / math] es un grupo compacto de Lie conectado, entonces

[matemáticas] H ^ {\ bullet} (BK, \ mathbb {Q}) \ cong H ^ {\ bullet} (BT, \ mathbb {Q}) ^ W \ ​​cong \ text {Sym} (\ Lambda \ otimes \ mathbb {Q}) ^ W. [/ math]

Aquí [math] T [/ math] es un toro máximo de [math] K [/ math], [math] W [/ math] es el grupo Weyl [math] W = N (T) / T [/ math] , y [math] \ Lambda [/ math] es la red de caracteres, o equivalentemente la red de homomorfismos [math] T \ a S ^ 1 [/ math].

Una forma de recordar este resultado es que se parece mucho a un resultado sobre el anillo de representación [matemática] R (K) [/ matemática], que dice que

[matemáticas] R (K) \ cong R (T) ^ W \ ​​cong \ mathbb {Z} [\ Lambda] ^ W. [/ matemáticas]

Entonces, la teoría de la representación puede ayudarlo a organizar muchos resultados estándar sobre clases características en topología algebraica. (Y estos cálculos están más directamente relacionados de lo que podrían parecer al principio, a través de una combinación del teorema de finalización Atiyah-Segal y el carácter de Chern).

En geometría algebraica, puede definir de manera similar los paquetes principales [matemática] G [/ matemática] sobre una variedad donde [matemática] G [/ matemática] ahora es un grupo algebraico. Las pilas de módulos de tales paquetes son un tema candente en las partes de la geometría algebraica que me interesan.

Tanto en la geometría algebraica como en la topología algebraica es interesante estudiar objetos estrechamente relacionados llamados [math] G [/ math] -local systems. Una definición concisa de un sistema local [matemático] G [/ matemático] sobre un espacio conectado [matemático] X [/ matemático] es que es lo mismo que una representación

[matemáticas] \ pi_1 (X) \ a G [/ matemáticas]

del grupo fundamental de [matemáticas] X [/ matemáticas] en [matemáticas] G [/ matemáticas], hasta la conjugación. En particular, cuando [math] G [/ math] es un grupo lineal general, realmente estamos pensando en representaciones lineales de [math] \ pi_1 (X) [/ math]. Cuando [math] G [/ math] es un grupo algebraico, el espacio de tales representaciones adquiere naturalmente la estructura de una variedad llamada variedad Character; Este es también un tema candente en estos días.

Teoría K

Teoría K topológica [matemática] K (X) [/ matemática], que está construida a partir de paquetes de vectores en un espacio [matemática] X [/ matemática], tiene una extensión natural a una invariante llamada teoría K equivalente [matemática] K_G (X) [/ matemáticas]. Aquí, por simplicidad, [matemática] X [/ matemática] es una variedad uniforme, [matemática] G [/ matemática] es un grupo de Mentiras que actúa suavemente sobre [matemática] X [/ matemática] y [matemática] K_G (X) [/ math] está construido a partir de objetos llamados [math] G [/ math] -equivariant bundles de vectores en [math] X [/ math]. Una forma de decir qué debería ser tal cosa es que debería ser lo mismo que un paquete de vectores en la pila de cocientes [matemática] X // G [/ matemática]. La teoría K equivalente se puede considerar como una generalización simultánea natural de la teoría de los paquetes de vectores y la teoría de la representación.

En particular, si [math] X [/ math] es un punto, entonces un paquete de vectores equivalente [math] G [/ math] es lo mismo que una representación de [math] G [/ math], y así [ matemática] K_G (\ text {pt}) [/ matemática] es el anillo de representación [matemática] R (G) [/ matemática]. Este es el anillo de coeficientes de la teoría K equivalente, por lo que [math] K_G (X) [/ math] para general [math] G [/ math] es canónicamente un módulo sobre el anillo de representación. Entendemos la estructura del anillo de representación bastante bien, por lo que esta es una pieza útil de estructura para tener alrededor.

Es posible una construcción completamente análoga en geometría algebraica usando paquetes de vectores algebraicos equivalentes. Este es un entorno natural para comprender varios temas en la teoría de la representación geométrica, que en términos generales es la aplicación de la geometría algebraica para comprender la teoría de la representación. Un ejemplo motivador básico es que al aplicar una versión equivalente del teorema de Hirzebruch – Riemann – Roch a una variedad de bandera generalizada, puede proporcionar una prueba geométrica de la fórmula del carácter Weyl; Esto es parte de la historia del teorema de Borel-Weil-Bott.

Incluso si todo lo que le importa son cosas no equivalentes, existen “teoremas de localización” para invariantes equivalentes, como la teoría K equivalente, que pueden ayudarlo a calcular invariantes no equivalentes aprovechando la presencia de una acción grupal.

Answer 2

Extremadamente útil, pero no completamente necesario.

Hablaré principalmente de geometría algebraica.

Si desea estudiar la geoma de Alg, y en particular la geometría algebraica derivada, debe tener una imagen clara de algún ejemplo de banco de pruebas. Uno de ellos es la geometría compleja. Si comprende este material muy profundamente, podrá desarrollar la intuición necesaria al aprender los nuevos conceptos en geometría derivada. Sin embargo, la geometría algebraica derivada tiene más que ver con esquemas y pilas y categorías superiores. La geometría algebraica obtiene una gran cantidad de sus ejemplos, intuiciones y motivaciones, de la teoría del representante, pero rara vez se REQUIERE la teoría del representante.

Al intentar pasar al ámbito de las categorías derivadas, definitivamente desea ejemplos en su haber, donde la equivalencia derivada es necesaria y útil. Personalmente, casi todos los ejemplos que conozco provienen de la teoría de los representantes. Esta es mi única advertencia.

En lo que respecta a los antecedentes reales, creo que puedes trabajar con Alg Geom derivado sin teoría de repeticiones.

Una cosa más…

Una técnica poco apreciada en el aprendizaje de las matemáticas es desarrollar una motivación personal para trabajar en un campo de investigación. Es fácil decir “¡Lurie es la mejor!” y quiero rezar en el altar de los functors triangulados. Pero te pregunto, “¿por qué?” ¿Cuál es su verdadera motivación matemática para categorías derivadas y / o superiores? Soy de la opinión de que un marco matemático hermoso no garantiza su arduo trabajo solo en virtud de su belleza. ¿Alguna vez has tenido una pregunta matemática que Alg geom normal no puede atacar? ¿Alguna vez te has encontrado pensando “esto simplemente no es una pila, si hubiera algo más grande”? No pretendo derribarte, pero parece un poco equivocado profundizar en algo tan abstracto, sin ninguna ubicación de eco de dónde están tus propias preguntas.

Descargo de responsabilidad: no sé geometría algebraica derivada. Solo entiendo un poco de teoría de categoría superior. No conozco a Lurie personalmente, y he pasado poco tiempo leyendo su trabajo. No hablo como experto en estas áreas, solo como un geómetra ex-algebraico y teórico de la representación.

Answer 3

Realmente no es necesario para la topología algebraica. Es más útil para la geometría algebraica. Pero necesita saber alguna representación antes de mirar esos temas. ¿Por qué?

Es porque la teoría de la representación es más simple que los sujetos teóricos. La teoría de la representación es una extensión directa del álgebra lineal y todos sabemos que el álgebra lineal es muy importante.

• Yo diría que cualquier matemático necesita conocer la Parte I de las representaciones lineales de grupos finitos, Jean-Pierre Serre. La teoría del carácter es una teoría simple con muchos usos.
• Después de eso, es bueno saber Introducción a las álgebras de mentiras y teoría de la representación, James Humphreys. Conociendo grupos de reflexión, el álgebra de Lie es importante para las matemáticas.

No estoy trabajando en topología algebraica, geometría algebraica ni teoría de representación. Sin embargo, conocer alguna teoría de la representación me ha resultado muy útil. Esto se debe a que son básicos, no triviales y directamente utilizables.