Cómo integrar [math] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ frac {dx} {2x ^ 4-2x ^ 2 + 1} [/ math], usando propiedades de integral definida

Answer 1

Deje [math] \ bbox [2pt, border: 2pt solid # 01f] {I = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {dx} {2x ^ 4–2x ^ 2 + 1} dx} [/ math]

Ahora podemos escribir [matemáticas] 2x ^ 4–2x ^ 2 + 1 = (1-x ^ 2) ^ 2 + x ^ 4 [/ matemáticas]

Ponga [matemáticas] x = sinp \ rightarrow dx = cosp dp ~ y ~ p \ rightarrow 0 ~ como ~ x \ rightarrow 0, p \ rightarrow \ dfrac {π} {2} ~ como ~ x \ rightarrow 1 [/ math]

Entonces la integración anterior cambia a …

[matemáticas] l = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {2}} \ dfrac {cosp dp} {(1-sin ^ 2p) + sin ^ 4p} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow I = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {2}} \ dfrac {cosp} {sin ^ 4p + cos ^ p} dp = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {2}} \ dfrac {cos (\ dfrac {π} {2} -p)} {sin ^ 4 (\ dfrac {π} {2} -p) + cos ^ 4 (\ dfrac {π} {2} -p)} dp = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {2}} \ dfrac {sinp} {sin ^ 4p + cos ^ 4p} dp [/ math]

Ahora [matemáticas] I + I = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {2}} [\ dfrac {sinp + cosp} {sin ^ 4p + cos ^ 4p} dp = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} { 2}} \ dfrac {sinp + cosp} {(sin ^ 2p + cos ^ 2p) ^ 2–2sin ^ 2p.cos ^ 2p} dp = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {2}} \ dfrac {sinp + cosp} {1-2 [\ dfrac {(sinp-cosp) ^ 2-1} {2}] ^ 2} dp = \ int_0 ^ {\ dfrac {π} {2}} \ dfrac {sinp + cosp} {(1+ \ dfrac {(sinp-cosp) ^ 2-1} {\ sqrt {2}}) (1- \ dfrac {(sinp-cosp) ^ 2-1} {\ sqrt {2}})} dp [/ math]

Deje [matemáticas] sinp-cosp = z \ rightarrow (cosp + sinp) dp = dz, ~ y ~ z \ rightarrow 1 ~ como ~ p \ rightarrow \ dfrac {π} {2} ~ y ~ z \ rightarrow -1 ~ como ~ p \ rightarrow 0 [/ math]

Para que podamos escribir …

[matemáticas] 2I = \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {1} {(1+ \ dfrac {z ^ 2–1} {\ sqrt {2}}) (1- \ dfrac {z ^ 2–1 } {\ sqrt {2}})} dz = \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {2} {[(\ sqrt {2} -1) -z ^ 2] [(\ sqrt {2} -1 ) + z ^ 2]} dz = \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {1} {\ sqrt {2} -1} [\ dfrac {(\ sqrt {2} -1 + z ^ 2) + ( \ sqrt {2} -1-z ^ 2)} {(\ sqrt {2} -1 + z ^ 2) (\ sqrt {2} -1-z ^ 2)}] dz = \ dfrac {1} { \ sqrt {2} -1} \ int _ {- 1} ^ 1 [\ dfrac {1} {\ sqrt {2} -1-z ^ 2} – \ dfrac {1} {\ sqrt {2} -1+ z ^ 2}] dz = \ dfrac {1} {\ sqrt {2} -1} [\ dfrac {1} {2 \ sqrt {\ sqrt {2} -1}} \ ln \ left | \ dfrac {\ sqrt {\ sqrt {2} -1} + z} {\ sqrt {\ sqrt {2} -1} -z} \ right | – \ dfrac {1} {\ sqrt {\ sqrt {2} -1}} tan ^ {- 1} \ dfrac {z} {\ sqrt {\ sqrt {2} -1}}] _ {- 1} ^ 1 [/ math]

[matemáticas] \ bbox [2pt, borde: 1pt sólido # 01f] {\ Rightarrow I = \ dfrac {1} {2 (\ sqrt {2} -1)} [\ dfrac {1} {\ sqrt {\ sqrt { 2} -1}} \ ln \ left | \ dfrac {\ sqrt {\ sqrt {2} +1}} {\ sqrt {\ sqrt {2} -1}} \ right | – \ dfrac {2} {\ sqrt {\ sqrt {2} -1}} tan ^ {- 1} \ dfrac {1} {\ sqrt {\ sqrt {2} -1}}]} [/ math]

Answer 2

[matemáticas] I = \ int_0 ^ 1 \ frac {dx} {2x ^ 4–2x ^ 2 + 1} = \ int_0 ^ 1 \ frac {dx} {x ^ 4 + (1-x ^ 2) ^ 2} [/matemáticas]

Sustituir x = sen t ; dx = cos t dt

I = [matemáticas] \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ cos t dt} {\ sin ^ 4 t + \ cos ^ 4 t} [/ matemáticas]

tenemos [math] \ int_0 ^ af (x) dx = \ int_0 ^ af (ax) dx [/ math]

I = [matemáticas] \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin t dt} {\ sin ^ 4 t + \ cos ^ 4 t} [/ matemáticas]

agregando

2I = [matemáticas] \ int_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {\ sin t + \ cos t dt} {\ sin ^ 4 t + \ cos ^ 4 t} [/ matemáticas]

La integral indefinida se ha resuelto en el siguiente enlace.

La respuesta de Shambhu Bhat a ¿Cómo evalúo la integral [matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ sin x + \ cos x} {\ sin ^ 4 x + \ cos ^ 4 x} \, dx [/ matemáticas]?

cuando sustituimos los límites que obtenemos

I = 1.445335

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