¿Es [matemáticas] 0 [/ matemáticas] una de las respuestas de [matemáticas] x ^ {\ sqrt {x}} = {\ sqrt {x}} ^ x [/ matemáticas]?

Answer 1

Las raíces cuadradas siempre son desordenadas. Dejemos que [math] t [/ math] denote [math] \ sqrt x [/ math] para que podamos deshacernos de ellos. Entonces estamos buscando valores de [math] t [/ math] tal que [math] (t ^ 2) ^ t = t ^ {t ^ 2}, [/ math] es decir, [math] t ^ { 2t} = t ^ {t ^ 2}. [/ Math] Aquí hay una gráfica de los dos lados de la ecuación. La curva azul es el gráfico de la función en el lado izquierdo de la ecuación, a saber, [math] t ^ {2t}, [/ math] y la curva roja es el gráfico de la función en el lado derecho de la ecuación, a saber [matemáticas] t ^ {t ^ 2}. [/ matemáticas]

De la gráfica se desprende que las dos curvas se cruzan en [matemática] t = 0,1, [/ matemática] por lo que [matemática] x = 0,1 [/ matemática] deberían ser ambas soluciones a las preguntas originales. La otra solución [matemática] t = 2 [/ matemática] (dando [matemática] x = 4 [/ matemática]) está fuera del gráfico. (Tenga en cuenta que no puede considerar valores negativos de x sin ir a un análisis complejo).

Ahora está claro que [matemática] x = 1 [/ matemática] es una solución a la ecuación original [matemática] x ^ {\ sqrt x} = {\ sqrt x} ^ {\; x}. [/ math] Sin embargo, su pregunta es si [math] x = 0 [/ math] también es una solución. Los gráficos anteriores sugieren que debería ser. Más análisis, dejado aquí, muestra que ambos límites

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0 ^ +} x ^ {\ sqrt x} [/ math] y [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0 ^ +} {\ sqrt x} ^ {\; x} [/ matemáticas]

también es igual a 1 (como lo sugieren los gráficos).

Entonces, sí, 0 también debe considerarse como una de las soluciones a la ecuación.

Answer 2

[matemáticas] \ ln x ^ {\ sqrt {x}} = \ sqrt {x} \ ln x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ ln \ sqrt {x} ^ x = \ frac {x} {2} \ ln x [/ matemáticas]
Al igualar estos dos obtenemos [math] \ sqrt {x} = \ frac {x} {2} [/ math] que admite una solución 0. Sin embargo, rigurosamente, debe explicarse en sentido límite.

Answer 3

La convención generalmente sostiene que [matemática] x ^ x [/ matemática] no está definida para [matemática] x = 0 [/ matemática]. Eso implicaría que ninguno de los lados de su ecuación está bien definido en [matemática] x = 0 [/ matemática], por lo que la ecuación no se satisfaría para ese valor de [matemática] x [/ matemática].

Debo mencionar que es posible usar una convención diferente para [math] 0 ^ 0 [/ math]. No es estándar, pero es interesante pensar en ello. Eche un vistazo a la respuesta de Anders Kaseorg a ¿Qué es [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] (el poder cero de cero)?

Answer 4

Si y no. Como señaló David Joyce, el límite como [matemática] x \ a 0 ^ + [/ matemática] es el mismo para ambas expresiones, a saber, 1. (El límite a medida que x se acerca a 0 desde abajo no existe). Pero eso no es Lo mismo que decir que 0 es una solución. Estrictamente hablando, [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas] no está definido! Si f (x) yg (x) se acercan a 0 cuando x se acerca a a, entonces la expresión [matemáticas] \ lim_ {x \ a a} f (x) ^ {g (x)} [/ matemáticas] se llama forma indeterminada, y puede tomar una variedad de respuestas dependiendo de los detalles.

En pocas palabras: ¿Qué quieres decir cuando escribes [matemáticas] x ^ {\ sqrt {x}} [/ matemáticas] en x = 0? ¿Te refieres a un límite, o te refieres a una función que realmente tiene 0 en su dominio? Si te refieres a un límite, la respuesta es sí. Si te refieres a una función, la respuesta es no.

Answer 5

Su ecuación es equivalente a [math] \ sqrt {x} = \ frac {x} 2 [/ math], eliminando la solución 0 debido a una falta de definición bien definida.
Ahora intentaremos resolverlo. Ajústelo al cuadrado (también agregará soluciones adicionales, por lo que luego tendremos que verificarlas): [matemáticas] 4x = x ^ 2 [/ matemáticas]. Elimine la solución x = 0 para obtener x = 4.

[matemáticas] 4 ^ \ sqrt {4} = \ sqrt {4 ^ 4} [/ matemáticas] es su única solución, ambos números son iguales a 16.

Editar: Se ha señalado que cuando la base es 1, el exponente puede diferir. Y de hecho x = 1 es otra solución: [matemáticas] 1 ^ \ sqrt {1} = \ sqrt {1 ^ 1} = 1 [/ matemáticas]

Answer 6

Gracias por A2A. Esto es puramente una cuestión de convención. La gente de cálculo a menudo define [matemática] x ^ {x} [/ matemática] como [matemática] e ^ {x \ ln (x)} [/ matemática] restringiendo así automáticamente el dominio de definición de esta expresión a [matemática] x> 0 [/matemáticas].

Pero si una pregunta fuera parte de alguna prueba, incluiría la solución [matemática] x = 0 [/ matemática] ya que uno puede entender perfectamente LHS y RHS si [matemática] x = 0 [/ matemática]. Nadie podría decir que esto está mal, ya que rompería una convención bastante profunda y completamente deliberada sobre productos vacíos utilizados profusamente en muchos textos matemáticos clásicos como, por ejemplo, Bourbaki. Entonces tiene 3 soluciones.

Answer 7

No. Esto se debe a que 0 ^ 0 no está definido. Puedes pensarlo así: x ^ 0 donde x no es igual a 0 es x ^ n / x ^ n = 1. Sin embargo, cuando x = 0 esto conduce a una expresión 0/0 que no está definida. Una solución a la ecuación anterior es x = 1.

Answer 8

La respuesta es bastante directa.

0 tiene una raíz cuadrada de 0, y $ 0 ^ 0 = 1 $ (dado que 0 es un número de conteo, y aplicando * 0 a x 0 veces da x, por lo tanto $ 0 ^ 0 $ debe ser $ 1 $. Entonces 0 ^ 0 = 1 .

Del mismo modo, $ \ sqrt 4 = 2 $ y $ 2 ^ 4 = 4 ^ 2 $ da el segundo cruce en 4.

Answer 9

Aunque la respuesta es sí, 0 es una solución, estás en terreno peligroso.
no todos los pares de funciones, que tienden a 0 ^ 0 como x tiende a 0, serán iguales.

considere la función g (x) = 0 ^ x ya que x tiende a 0 desde el lado positivo (x = + 0) … esta función es cero en x = + 0
mientras que x ^ x tiende a 1 en x = + 0.
sin embargo, x ^ (x ^ .01) tiende a cero.
Creo que el punto de ruptura ix x ^ (x ^ (1 / e ^ e)) pero no estoy seguro
tomar registros y usar la regla de L’hopital?

Answer 10

OK, dado que x ^ x ^ (1/2) = x ^ x / 2. Ahora equipare los índices de x, entonces x ^ (1/2) = x / 2, que se reduce a 2 = x ^ (1/2). Cuadra ambos lados para obtener 4 = x.

Si 0 es una respuesta: no estoy seguro de cómo se define 0 ^ 0 cuando se sustituye de nuevo en la ecuación dada original. Yo diría que no, pero x = 4 es ciertamente una solución.

Answer 11

Podrías simplemente tomar el registro de ambos lados y resolver dos ecuaciones para dar x = 0,4. Junto con eso, se entiende claramente que x no es <= 0. Pero si lo fuera, las soluciones reales serían x = 0,4.

Answer 12

Si. Puede resolver directamente tomando el registro de ambos lados.

Al hacerlo, será evidente que 1 es una solución ya que el registro de 1 es cero. Para soluciones en las que x no es 1, puede dividir log (x) de cada lado y resolver lo que queda dando dos soluciones, 0 y 4.