Esta fue una pregunta difícil. Me llevó un día, pero finalmente lo conseguí, supongo.
Tenemos,
[matemáticas] 0 \ leq x ^ 2 + y ^ 2 \ leq \ pi [/ matemáticas]
Esto representa un disco con centro (0,0) y radio [math] \ sqrt \ pi [/ math].
Considere el valor [math] \ sqrt {xy} [/ math], el valor será máximo cuando x = y, y será en [math] x = \ sqrt {\ pi / 2} [/ math]. Se pueden aplicar argumentos similares para los mínimos, y los mínimos se producen en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]
Así,
[matemáticas] 0 <= \ sqrt {xy} <= \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} <\ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas], por lo tanto
[matemáticas] 0 <= \ sin {\ sqrt {xy}} <1 [/ matemáticas] .. (1)
Además, como media aritmética> = media geométrica, entonces
[matemáticas] \ sqrt {xy} <= \ frac {x + y} {2} [/ matemáticas]
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Como cos es una función decreciente en [math] (0, \ pi / 2) [/ math] tenemos:
[matemáticas] \ cos {\ frac {x + y} {2}} <= \ cos {\ sqrt {xy}} [/ matemáticas] .. (2)
Veamos la ecuación original ahora, la lhs es
[matemáticas] \ cos x + \ cos y = 2 \ cos \ frac {x + y} {2} \ cos \ frac {xy} {2} [/ matemáticas]
Como, [matemáticas] \ cos t <= 1 [/ matemáticas] para todas las t, esto significa,
[matemáticas] \ cos x + \ cos y <= 2 \ cos {\ frac {x + y} {2}} [/ matemáticas]
usando (2) tenemos
[matemáticas] \ cos x + \ cos y \ leq 2 \ cos {\ sqrt {xy}} [/ matemáticas] .. (3)
Deje [math] t = \ sqrt {xy} [/ math], considere la función:
[matemáticas] f (t) = 2 \ cos t – 1 – \ cos {t ^ 2} [/ matemáticas]
=> [matemáticas] f ‘(t) = 2 (t \ sin {t ^ 2} – \ sin t) [/ matemáticas]
En el intervalo [matemática] (0, \ pi / 2) [/ matemática], [matemática] f ‘(t) = 0 [/ matemática] en [matemática] t = 1 [/ matemática]
Para [matemática] t <1 [/ matemática], [matemática] t ^ 2 <t [/ matemática] y usando (1), podemos decir que [matemática] \ sin {t ^ 2} <\ sin {t} [/ math], por lo tanto
=> [matemáticas] t \ sin {t ^ 2} <\ sin {t} [/ matemáticas]
=> [matemáticas] f ‘(t) <0 [/ matemáticas]
Para [matemática] t> 1 [/ matemática], [matemática] t ^ 2> t [/ matemática] y usando (1), podemos decir que [matemática] \ sin {t ^ 2}> \ sin {t} [/matemáticas]
=> [matemáticas] t \ sin {t ^ 2}> \ sin {t} [/ matemáticas]
=> [matemáticas] f ‘(t)> 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [math] t = 1 [/ math], es la única solución única para [math] f ‘(t) [/ math] y también desde [math] f (0) = 0 [/ math] y [math ] f (1) <0 [/ math], podemos decir que [math] f (t) <= 0 [/ math] para [math] 0 <= t <= \ pi / 2 [/ math]
Así [matemáticas] 2 \ cos {t} -1 – \ cos {t ^ 2} <= 0 [/ matemáticas]
=> [matemáticas] 2 \ cos {t} <= 1 + \ cos {t ^ 2} [/ matemáticas]
=> [matemáticas] 2 \ cos {\ sqrt {xy}} <= 1 + cos {xy} [/ matemáticas]
Usando (3)
=> [matemáticas] \ cos x + \ cos {y} <= 1 + \ cos {xy} [/ matemáticas]
QED