Cómo resolver [matemáticas] x ^ 6-x ^ 5 + 3x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Una técnica que funciona para algunos polinomios (pero no, para este caso) es buscar raíces racionales. Cada raíz racional de un polinomio entero debe ser una relación entre un factor del último coeficiente y un factor del primer coeficiente. Entonces, para este polinomio, las únicas raíces racionales posibles son 3, 1, -1, -3. Puede verificar cada uno de estos para ver si es una raíz.

Si encuentra una raíz [matemática] a [/ matemática], divide el polinomio por [matemática] xa [/ matemática] y se encuentra con un polinomio más simple.

Resulta que ninguna de las posibilidades funciona aquí, por lo que este polinomio no tiene raíces racionales.

Si es un polinomio de grado hasta 4, existen fórmulas para generar las raíces.

Pero como no es así, todo lo que puede hacer es utilizar algoritmos numéricos de búsqueda de raíces.

Para este polinomio hay 2 raíces reales y 4 imaginarias: aproximadamente {-0.947065, 1.07781, -0.0942678 – 0.956229 i, -0.0942678 + 0.956229 i, 0.528894 – 1.70398 i, 0.528894 + 1.70398 i}

Answer 2

Si la ecuación fuera [matemática] x ^ 6 + 3 x ^ 4 – x ^ 2 – 3 = 0 [/ matemática] podríamos obtener una solución explícita. Sea y = x ^ 2, entonces podemos escribir la ecuación en términos de y

[matemáticas] y ^ 3 + 3 y ^ 2 – y – 3 = 0 [/ matemáticas]

esto se puede factorizar como [math] (y + 3) (y + 1) (y – 1) = 0 [/ math]. Para soluciones reales solo nos interesa el último factor [matemática] y = 1 [/ matemática] dando [matemática] x = \ pm 1 [/ matemática].

Agregar la potencia impar [matemáticas] x ^ 5 [/ matemáticas] rompe la simetría, por lo que no podemos usar el mismo truco. Sin embargo, las dos funciones son muy similares y la ecuación original tiene soluciones cercanas a -1 y +1.

Esta figura muestra tanto [matemáticas] x ^ 6 -x ^ 5 + 3 x ^ 4 – x ^ 2 – 3 = 0 [/ matemáticas]

en negro, y [matemáticas] x ^ 6 + 3 x ^ 4 – x ^ 2 – 3 = 0 [/ matemáticas] en rojo. Note cuán cercanas están las soluciones de las dos ecuaciones.

Los métodos numéricos, como el método de Newton, pueden usarse para converger a la solución exacta.

Answer 3

Puede resolver ecuaciones lineales muy fácilmente (aquellas con x) y, por supuesto, existe la famosa fórmula para ecuaciones cuadráticas (aquellas con x al cuadrado).

Existen procesos complicados para las ecuaciones cúbicas y cuárticas, que le proporcionarán soluciones exactas, pero una vez que llegue a quintic y superiores, NO hay una fórmula para garantizar una solución exacta, y existe una prueba de que no puede haber una.

Entonces: ¿qué hacer en este caso? Lo mejor sería detectar un factor para ello, pero no puedo ver uno aquí. Si pudieras dividir toda la expresión de la izquierda entre (x – 3) o algo así, tendrías una solución y una ecuación más fácil de torturar para las otras soluciones.

No podemos hacer esto aquí, por lo que debemos buscar respuestas en el análisis numérico, la teoría de la aproximación. Ponga un número posible, vea si está cerca. Pruebe un número un poco más grande que él. ¿Eso está más cerca? Entonces probablemente vas en la dirección correcta. Intente otro paso … vea qué tan cerca está.

Su ecuación está en x a la sexta potencia, por lo que tendrá seis soluciones. Sin embargo, no puedo garantizar que ninguno de ellos sean números reales: algunos pueden ser números complejos. Es posible que también encuentre una solución repetida.

¿Es la ecuación de algún lugar en particular, o simplemente está inventada? La respuesta a esa pregunta posiblemente puede proporcionar una pista para una respuesta.

Editar: Acabo de calcular que una solución es 1.07781257 … – pero esta no es una solución exacta, solo una encontrada al encontrar repetidamente números cada vez más cercanos a una respuesta.

Answer 4

Dan Wheeler tiene toda la razón, el Teorema de Abel Ruffini dice que no hay una solución general en términos de radicales para polinomios de grado superior a 4. Teorema de Abel-Ruffini – Wikipedia. Puede haber casos especiales (por ejemplo, x ^ 6 + 4x ^ 3 + 3 = 0). Resulta que a pesar de que Abel Ruffini precedió a Galois, ¡la mejor manera de demostrar que Abel Ruffini es con la teoría de Galois! Teoría de Galois – Wikipedia

Answer 5

Existen varios métodos para encontrar raíces de ecuaciones polinómicas univariadas. Ver método Durand-Kerner o método Aberth. Estos métodos son técnicas de búsqueda de raíz simultáneas y tienen una mayor precisión que un enfoque de raíz a la vez. Sin embargo, no funcionan tan bien (convergen lentamente) para múltiples raíces. WolframAlpha probablemente usa uno de los métodos para esto: Computational Knowledge Engine ya que se niega a dar una forma exacta (generalmente una buena indicación de un método numérico utilizado).

Answer 6

Utilice la representación gráfica, ya que la factorización no puede ser posible en esta ecuación de todos modos.

En [matemáticas] y = 0, x = -0.947, 1.078 [/ matemáticas].

Gracias por la A2A

Answer 7

Otros han respondido esta pregunta muy bien.

Sin embargo, me gustaría señalar una cosa. Puedes intentar adivinar dónde están las soluciones. Por ejemplo: Sea x = 1. Produce 1 – 1 + 3 – 1 – 3 = -1. Sea x = 2. Produce 64 – 32 + 48 – 4 – 3> 0. Por lo tanto, debe haber una raíz entre 1 y 2. Si puede detectar más de tales cambios en el signo de la función, entonces puede adivinar dónde está las soluciones deben mentir. (Olvidé el nombre del teorema para esto, pero sí recuerdo que requiere que la función en cuestión sea continua)

Answer 8

Primero comenzarás por adivinar que es root.

Comenzará desde -1,1, -2,2 … ojalá lo encuentre pronto.

Después de eso se requieren 5 raíces más. Ahora haz esto por división sentatica. Una raíz más está ahora en tu mano. Ahora continúe este proceso (adivinando raíz y aplicando división sentatica) encontrará más raíces. (corrígeme, si he cometido algún error)

Answer 9

Según tengo entendido, no existe una solución algebraica general para polinomios de orden cinco o superior (teorema de Abel-Ruffini).

El primer enfoque que tomaría es graficarlo y adivinar las raíces lo más cerca posible del gráfico manual. Luego tome esas conjeturas como las entradas iniciales a un método de aproximación como Newton-Raphson. La ecuación de iteración que me enseñaron es la siguiente:

x [n + 1] = x [n] – f (x [n]) / f ‘(x [n])

La advertencia a este método es que puede no converger si las conjeturas iniciales no son lo suficientemente cercanas. Gracias.

Answer 10

Solo puede obtener soluciones numéricas para este tipo de ecuación. Google para “x ^ 6-x ^ 5 + 3x ^ 4-x ^ 2-3” y verá su gráfico y sus soluciones alrededor de -1 y +1

Answer 11