¿Cómo se puede demostrar que existe un número racional [matemática] c / d [/ matemática], con [matemática] d <100 [/ matemática], tal que [matemática] \ left \ lfloor k \ frac cd \ right \ rfloor = \ left \ lfloor k \ frac {73} {100} \ right \ rfloor [/ math] para [math] k = 1,2,…, 99 [/ math]?

Sea S un conjunto, que contiene números tales que

[matemáticas] \ frac {c} {d} – \ frac {73} {100}, [/ matemáticas]

con d <100 y c / d es un número racional.
Luego elegimos el mínimo, podemos suponer que

[matemáticas] \ left \ lfloor \ frac {kc} {d} \ right \ rfloor \ neq \ left \ lfloor \ frac {k73} {100} \ right \ rfloor, [/ math]

para algunos k = 1,2,3, …, 99, entonces
[matemáticas] \ left \ lfloor \ frac {kc} {d} \ right \ rfloor – \ left \ lfloor \ frac {k73} {100} \ right \ rfloor \ neq 0, [/ math]

lo que implica que
[matemáticas] \ frac {kc} {d} \ geq \ frac {k73} {100} + 1, [/ matemáticas]

si y solo si
[matemáticas] \ frac {c} {d} \ geq \ frac {73} {100} + 1 / k, [/ matemáticas]

y K es al menos igual a 99, entonces

[matemáticas] \ frac {c} {d} \ geq \ frac {73} {100} + 1/99 = \ frac {7327} {9900}, [/ matemáticas]

sin embargo, 73/99 es menor que c / d, porque

[matemáticas] \ frac {c} {d} – \ frac {27} {9900} \ geq \ frac {7327} {9900} – \ frac {27} {9900} = \ frac {73} {99}, [ /matemáticas]

entonces

[matemáticas] \ frac {73} {99} – \ frac {73} {100} <\ frac {c} {d} – \ frac {73} {100}, [/ matemáticas]

Esto es una contradicción porque elegimos [math] \ frac {c} {d} – \ frac {73} {100} [/ math] mínimo.

Y mostramos la existencia de c / d que satisface la igualdad.

Tomamos [math] (c, d) [/ math] como una solución de la ecuación de Diophantine [math] 73d-100c = 1 [/ math] con [math] 1 \ le d \ le 99 [/ math]. Los resultados bien conocidos con ecuaciones de diofantina garantizan tanto la existencia de tal solución como una forma de calcularla. De hecho, tal cálculo produce: [matemática] c = 27 [/ matemática], [matemática] d = 37 [/ matemática]. Dado que [matemáticas] \ frac {c} {d} <\ frac {c} {d} + \ frac {1} {100d} = \ frac {73} {100} [/ matemáticas], es trivialmente siempre cierto que :

[matemáticas] \ left \ lfloor \ frac {kc} {d} \ right \ rfloor \ le \ left \ lfloor \ frac {73k} {100} \ right \ rfloor [/ math]

Entonces solo necesitamos mostrar:

[matemáticas] \ left \ lfloor \ frac {kc} {d} \ right \ rfloor \ ge \ left \ lfloor \ frac {73k} {100} \ right \ rfloor [/ math]

Supongamos lo contrario:

[matemáticas] \ left \ lfloor \ frac {kc} {d} \ right \ rfloor <\ left \ lfloor \ frac {73k} {100} \ right \ rfloor [/ math]

Luego establezca [math] N = \ left \ lfloor \ frac {73k} {100} \ right \ rfloor [/ math] donde [math] N [/ math] es un número entero. Resulta que:

[matemáticas] \ left \ lfloor \ frac {kc} {d} \ right \ rfloor

y:

[matemáticas] \ frac {kc} {d}

o:

[matemáticas] kc

Dado que [math] kc

[matemáticas] kc + 1 \ le \ frac {73dk} {100} [/ matemáticas]

o:

[matemáticas] 100kc + 100 \ le 73dk [/ matemáticas]

Como [math] 73d-100c = 1 [/ math], obtenemos [math] 100 \ le k [/ math] así que para [math] k \ le 99 [/ math] tenemos una contradicción y el resultado se mantiene.

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