Cómo integrar [matemáticas] (x + 1) (x + 3) ^ 5 [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]

Answer 1

Hay varias formas de abordar el problema. Se podría usar la integración por partes, pero eso es demasiado complicado e innecesario. Se podría expandir todo el polinomio, pero eso es bastante tedioso. El método más fácil y eficiente es usar la sustitución en U.

La integral
[matemáticas] \ int (x + 1) (x + 3) ^ {5} dx [/ matemáticas]

El punto completo de la sustitución en U es hacer que la integral sea más fácil de administrar. La u en este caso es [matemática] x + 3 [/ matemática]. ([matemática] x + 1 [/ matemática] también podría ser su [matemática] u [/ matemática], pero hacer [matemática] u [/ matemática] [matemática] x + 3 [/ matemática] es más fácil).
[matemáticas] u = x + 3 [/ matemáticas]
al resolver para [matemáticas] x + 1 [/ matemáticas], obtienes
[matemáticas] u-2 = x + 1 [/ matemáticas]

Ingrese todas las expresiones, y la integral ahora se lee como,
[matemáticas] \ int (u-2) u ^ {5} dx [/ matemáticas]

¿Qué pasa con [math] dx [/ math]?

Sabemos que [matemáticas] u = x + 3 [/ matemáticas].
Diferenciar ambos lados y obtenemos [math] du = dx [/ math].

La integral modificada
[matemáticas] \ int (u-2) u ^ {5} du [/ matemáticas]

Distribuya las [matemáticas] u ^ {5} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int u ^ {6} -2u ^ {5} du [/ matemáticas]

Aplicar la regla de suma para integrales.
[matemáticas] \ int u ^ {6} -2u ^ {5} du = \ int u ^ {6} du – \ int 2u ^ {5} du [/ matemáticas]

Integrar. Esto es ahora,
[matemáticas] \ frac {u ^ {7}} {7} – \ frac {u ^ {6}} {3} + c [/ matemáticas]

Como se mencionó anteriormente [matemáticas] u = x + 3 [/ matemáticas]

El resultado
[matemáticas] \ int (x + 1) (x + 3) ^ {5} dx = \ frac {(x + 3) ^ {7}} {7} – \ frac {(x + 3) ^ {6} } {3} + c [/ matemáticas]

Si necesita más ayuda con la sustitución en U, busque en YouTube utilizando la consulta de búsqueda: sustitución en U.

Answer 2

podría integrar [matemática] \ izquierda (x + 3 \ derecha) ^ 6-2 \ izquierda (x + 3 \ derecha) ^ 5 [/ matemática]

para lo cual el resultado sería (porque todas las derivadas internas son una constante):
[matemática] \ frac {\ left (x + 3 \ right) ^ 7} {7} -2 \ frac {\ left (x + 3 \ right) ^ 6} {6} [/ math]

O en otras palabras:
[matemáticas] \ frac {\ left (x + 3 \ right) ^ 6} {21} \ cdot \ left (3x + 2 \ right) [/ math]

Answer 3

[matemáticas] \ int {(x + 1) (x + 3) ^ 5} dx [/ matemáticas]

Usando la integración por parte,

[matemáticas] \ int {udv} = uv – \ int {vdu} [/ matemáticas]

dejar
[matemáticas] u = (x + 1) [/ matemáticas]

y
[matemáticas] dv = (x + 3) ^ 5 dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica v = ((x + 3) ^ 6) / 6 [/ matemáticas]

y el resto sigue usando las fórmulas anteriores

Answer 4

Sumar y restar [matemáticas] 2 (x + 3) ^ 5 [/ matemáticas] de la expresión dada. El nuevo integrando será [math] (x + 3) ^ 6 – 2 (x + 3) ^ 5 [/ math]. Ahora [matemáticas] dx = d (x + 3) [/ matemáticas]. Por lo tanto, la integral se convierte en x ^ 6 – 2x ^ 5 wrt x con límites cambiados.

Answer 5

[matemáticas] \ int (x + 1) (x + 3) ^ 5 dx [/ matemáticas]
Pon x + 3 = y,
[matemáticas] \ int (y – 2) y ^ 5 dy [/ matemáticas]
[matemáticas] \ int y ^ 6 – 2y ^ 5 dy [/ matemáticas]

Answer 6

Expanda la función (x + 1) (x + 3) ^ 5 para obtener un polinomio algebraico de grado 6. Su integración es la habitual …

Answer 7

Te mostraré cómo NO hacerlo:

1. [matemáticas] (x + 1) (x + 3) ^ 5 [/ matemáticas] parece un polinomio, así que vamos a expandirlo
2. Al hacer todo esto a mano correctamente en el primer intento, obtenemos: [matemáticas] x ^ 6 + 16 x ^ 5 + 105 x ^ 4 + [/ matemáticas] [matemáticas] 360 x ^ 3 + 675 x ^ 2 + 648 x +243 [/ matemáticas]
3. Luego, hemos reducido nuestro problema al más simple: [matemáticas] \ int (x ^ 6 + 16x ^ 5 + 105x ^ 4 + 360 [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ 3 + 675x ^ 2 + 648x + 243) dx [/matemáticas]
4. Nuevamente, haciendo esto correctamente en el primer intento, obtenemos: [matemáticas] \ frac {1} {7} x ^ 7 + \ frac {8} {3} x ^ 6 + 21x ^ 5 + 90 [/ matemáticas] [ matemáticas] x ^ 4 + 225x ^ 3 + 324x ^ 2 + 243x [/ matemáticas]

En realidad no hagas esto.

Answer 8

Tomar (x + 3) = y; dx = dy; x + 1 = y-2
integral (x + 1) (x + 3) ^ 5dx = integral (y-2) y ^ 5dy
= (y ^ 6-2y ^ 5) dy
= (y ^ 7/7) -y ^ 6/3 + C
= (x + 3) ^ 7 / 7- (x + 3) ^ 6/3 + C

De otra manera
Binomialy Expand (x + 3) ^ 5 y luego intenta resolverlo