¿Cuál será el resto cuando (5 ^ 2009 + 3 ^ 2009) se divida por 18?

Answer 1

Dos puntos principales a tener en cuenta: 1.El resto cuando [math] a + b [/ math] se divide por [math] d [/ math] = Rem (a / d) + Rem (b / d).
2. Congruencias: si a deja el resto b cuando se divide entre n, podemos escribirlo de forma compacta como lll b (mod n).
Una propiedad importante de esta notación de congruencia es que si a lll b (mod n);
Entonces a ^ k lll b ^ k (mod n) {nota: todas las cantidades son números naturales.}
Observe que [matemática] 5 ^ 3 = 125 [/ matemática] deja el resto -1 (= 4) cuando se divide entre 18 y [matemática] 18 = 9 * 2 [/ matemática].
por lo tanto,
5 ^ 3 lll (-1) (mod 18);
elevando esta congruencia al poder 669 (establezca k = 669 en la propiedad anterior)
tenemos 5 ^ (3 * 669) lll (-1) ^ 669 (mod 18).
Simplificando, 5 ^ 2007 lll (-1) (mod 18).
Otra propiedad de esta notación es que podemos multiplicar cualquier número entero positivo en ambos lados de la congruencia.
Por lo tanto, multiplicando 25 (= 5 ^ 2) en ambos lados,
5 ^ (2007 + 2) lll -25 (mod 18),
lo que significa 5 ^ 2009 lll 11 (mod 18).
Por lo tanto, la parte 1 da el resto 11.
Una manipulación similar de la parte 2 (3 ^ 2009) dará la respuesta 1.
Por lo tanto, el resto neto será 11 + 1 = 12.

Answer 2

• si (a + b) / c deja el resto d, entonces d puede representarse como e + f, donde e y f son residuos cuando a y b se dividen por c.
• si a / b deja el resto d y c / b deja el resto e, entonces el resto cuando ac se divide por b es de
• si a / b deja el resto c entonces (a) ^ n deja el resto c ^ n cuando se divide por b.

Teniendo en cuenta los puntos anteriores … necesitamos manipular nuestra expresión …
Resto cuando 5 ^ 2009 se divide por 18:
5 ^ 2009 = (25) (5) ^ 2007
= (25) (125) ^ 669
25/18 hojas 7
125/18 hojas -1
Entonces, (25) (125) ^ 669 hojas (7) (- 1) ^ 669 = -7
lo que significa 11.
Del mismo modo para 3 ^ 2009, obtenemos 1
Por lo tanto, el resto es 12.

Answer 3

Este es un problema de factorización ingeniosamente disfrazado. Siempre que tenga una expresión de la forma a ^ n + b ^ n, puede factorizarla si n es impar.

a ^ n + b ^ n = (a + b) [a ^ (n-1) – a ^ (n-2) b + a ^ (n-3) b ^ 2 -… + a ^ 2b ^ (n -3) – ab ^ (n-2) + b ^ (n-1)]

Usando este truco, a = 5, b = 13 yn = 2009. Como a + b es un factor del número, el número es divisible por 18 (5 + 13). El resto es 0

Calculadora restante

Answer 4

(3 ^ 2009) / 18 = 3 ^ 2007/2 = entero +1/2

(5 ^ 2009) / 18 = (6-1) ^ 2009/18

use la expansión binomial y cualquier término con una potencia de 6 mayor o igual a 2 dará un número entero cuando se divide por 18

entonces 5 ^ 2009/18 =
int + (6 * 2009 – 1) / 18
= int +2009/3 – 1/18
= entero + 2/3 – 1/18
= entero + 18/11

finalmente, agregando las dos expresiones,
entero + 18/11 +1/2
= entero +20/18
= I + 2/18
obtenemos el resto 2

Answer 5

Sea 5 ^ 2009 + 3 ^ 2009 = a (digamos).

Ahora, a = 0 (mod 2) y a = 2 (mod 9) … obvio por el pequeño teorema de Fermat.

Por lo tanto, según el teorema del resto chino, a = 2 (mod 18), es decir, el resto es 2.