¿Cómo averiguaría [math] \ sqrt {i} [/ math]?

Answer 1

Has recibido muchas respuestas correctas que te muestran las diferentes formas de resolver esto. Solo me gustaría responder a su punto “no podría acercarme a hacer esto”.
Regrese a lo básico. Dibuje el número que le interesa en el diagrama de Argand.
yo
que está en el eje y con una longitud 1.

Recuerda la regla para multiplicar números complejos
Multiplica las longitudes, suma los ángulos
Es decir A.exp (ix) * B.exp (iy) = AB.exp (i (x + y))
En este caso A = B = 1 porque estamos comenzando con una longitud de 1, por lo que cualquier potencia también tendrá una longitud de 1, es decir, estará en el círculo unitario.
También sabemos que estamos tratando con fracciones de un círculo, de ahí la aparición de 2pi en las otras respuestas.

También tenga en cuenta que cuando agregamos ángulos podemos tomar un circuito completo alrededor del círculo unitario.

A partir de esto, puede observar que i es una cuarta raíz de 1 y -i es otra, pero difieren en que i ^ 4 va una vez alrededor del círculo unitario para llegar a 1 y -i ^ 4 va tres veces.
¿Cuáles son las otras cuatro raíces de 1 y cuántas veces dan vueltas? Ahora mire otras preguntas similares para tener la idea de cuáles son las 8 octavas raíces de 1 y -1 cuáles son las raíces cúbicas de 1, -1, i, -i
Observe la forma en que estos vectores unitarios giran con cada multiplicación.
Si prueba estas cosas y comprende lo que está sucediendo, no volverá a quedarse atascado.

Answer 2

Dos cosas que debes saber para razonar.

1) 1: vector en el eje x. cuando 1 gira 90 grados, se coloca en el eje y. 1 + i es un vector que tiene una proyección de 1 en los ejes x e y. i tiene magnitud = 1. pero la dirección está en el eje y.

2) La multiplicación de dos números complejos es = multiplicación de magnitud y suma de ángulo.

Aquí las magnitudes son 1 para i y 1. Encuentra un vector cuyo ángulo cuando se duplica se parece a i. Un vector que está inclinado 45 grados al eje x es uno. O un vector en el tercer cuadrante con 225 grados. Cuando elevamos al cuadrado estos números complejos, obtenemos i. ¿Por qué? 45 gira en 45 más = 90, 225 gira en 225 más = 450 grados = 90 grados. Entonces estas son raíces cuadradas. El valor numérico ya está allí en las respuestas anteriores. Un vector inclinado de 45 grados tiene las mismas magnitudes reales e imaginarias. los letreros solo indican si está arriba o abajo, a la derecha o a la izquierda.

Ahora para raíces cúbicas, número complejo que tiene una inclinación de 30 grados con respecto al eje x. recuerde que el vector tiene que ser de magintude de 1. No es gran cosa. Encuéntralo y divídelo por la magnitud.

Answer 3

Puede suponer que [math] \ sqrt {i} [/ math] es complejo:

[matemáticas] a + bi = \ sqrt {i} [/ matemáticas]

Entonces, la cuadratura de ambos lados da:

[matemáticas] (a + bi) ^ 2 = i [/ matemáticas]

O

[matemáticas] a ^ 2 + 2abi – (b ^ 2) = i [/ matemáticas]

Podemos mirar eso y encontrar

[matemáticas] ab = 1/2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 – b ^ 2 = 0 [/ matemáticas]

Esto da [matemáticas] a = b = +/- \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Answer 4

Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación [matemáticas] x ^ 2 – i = 0 [/ matemáticas]. Eso no generalizará a exponentes más altos como lo hacen otras respuestas, pero funciona perfectamente bien para este problema.

Editar: como se señaló en los comentarios, esto en realidad no funciona. Lo dejaré como una advertencia contra el intento de ser demasiado inteligente sin asegurarme de que sus métodos inteligentes funcionen.

Answer 5

Otra forma de hacerlo: suponga que [math] \ sqrt {i} [/ math] es un número complejo, digamos [math] a + bi [/ math].
Entonces
[matemáticas] (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi [/ matemáticas],
entonces
[matemáticas] a ^ 2-b ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] 2ab = 1 [/ matemáticas].
Tomar desde allí.

Answer 6

[matemáticas] b = \ pi / 4 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ sqrt {i} = \ cos \ frac {\ pi} {4} + \ sin \ frac {\ pi} {4} i = \ frac {\ sqrt {2}} {2} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} i [/ math]

Answer 7

Solo observe que [math] (1 + i) ^ 2 = 2i [/ math] por la fórmula binomial. Entonces, obviamente, [math] \ frac {1 + i} {\ sqrt {2}} [/ math] es una solución.