¿Cuál es la mejor aproximación racional de [math] \ pi [/ math]? Sea “mejor” la diferencia entre el número de dígitos utilizados para representar el racional y el número de dígitos exactos en la expansión decimal.

Answer 1

Durante mucho tiempo, la serie utilizada para encontrar el valor de Pi fue dada por la serie Leibniz Gregory.

π = (4/1) – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4/11) + (4/13) – (4/15)…

Pero para dar el valor de Pi correctamente hasta 5 decimales, esta serie requirió alrededor de 500000 términos.

Ahora, en la tradición india, Nilakantha, un matemático de la Escuela de Matemáticas de Kerala, dio otra fórmula que vivió un par de siglos antes de Leibniz y la serie convergió muy rápidamente.

π = 3 + 4 / (2 * 3 * 4) – 4 / (4 * 5 * 6) + 4 / (6 * 7 * 8) – 4 / (8 * 9 * 10) + 4 / (10 * 11 * 12) – 4 / (12 * 13 * 14)…

Y para dar el valor de Pi hasta 5 decimales, esta serie requiere solo 6 términos. Y eso es una gran cosa, pero que no logró llamar la atención de los occidentales hasta el siglo XIX.

Ahora, tenga en cuenta todo esto y lo que hizo Ramanujan. Ramanujan simplemente escribió una serie infinita, luciendo tan horrible, que sería igual al recíproco de Pi.

Y esta es la serie de convergencia más rápida jamás dada por el valor de Pi y el algoritmo basado en esto se ha utilizado en las computadoras.

Ahora el factor más bello. Para tener el valor de Pi hasta 6 decimales, la serie infinita de Ramanujan solo necesitaba UN SOLO TÉRMINO.

Y tomas el segundo término y de repente tienes el valor de Pi hasta 11 términos en tus manos.

¡Creo que habla algo genial, y Ramanujan fue realmente genial!

De todos modos, si necesita el valor de pi en números, creo que sería como

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960
5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881
7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778
1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 ………………………… ..

Answer 2

No puede haber una aproximación fraccional “más grande” y “más precisa” de [math] \ pi [/ math]. Una de las formas de ver esto es usando fracciones continuas. [math] \ pi [/ math] no es racional, su representación de fracción continua es infinita, por lo que podemos obtener aproximaciones racionales cada vez más precisas.

Las fracciones continuas son de la forma
[matemáticas] q_0 + \ cfrac {1} {q_1 + \ cfrac {1} {q_2 + \ cfrac {1} {q_3 + \ cfrac {1} {q_4 + \ ddots}}}} [/ math]
Es fácil ver cómo escribirías la fracción continua de un número a partir de esto. Dado un número, expréselo como su parte integral [math] q_0 [/ math] más un número [math] r_0 [/ math] entre 0 y 1. Recurse: [math] r_0 = \ frac {1} {(\ frac {1} {r_0})} [/ math] Escribe [math] \ frac {1} {r_0} [/ math] como su parte integral [math] q_1 [/ math] más un número entre 0 y 1 y así sucesivamente . Los convergentes de esta fracción continua, es decir, la fracción solo hasta el cociente [matemática] q_i [/ ​​matemática] para aumentar [matemática] i [/ matemática] le dan una aproximación cada vez más cercana al valor “real” de la fracción continua (si converge). Los convergentes, de hecho, oscilan alternativamente mayor y menor que este valor.

Hay una buena fórmula inductiva de tipo fibonacci para obtener los numeradores y denominadores de estos convergentes (la prueba no es trivial pero tampoco es demasiado difícil)
Deje que [math] P_i ~ \ text {y} ~ Q_i [/ ​​math] denote el numerador y el denominador de la convergencia [math] i ^ {\ text {th}} [/ math]. Tenga en cuenta que
[matemáticas] P_0 = q_0, Q_0 = 1, P_1 = q_0.q_1 + 1, Q_1 = q_1 [/ matemáticas]
Entonces
[matemáticas] P_ {i} = q_i.P_ {i-1} + P_ {i-2} [/ matemáticas]
[matemáticas] Q_ {i} = q_i.Q_ {i-1} + Q_ {i-2} [/ matemáticas]
Puede usar las fórmulas anteriores para obtener convergentes sucesivos fácilmente. Aquí hay un código Python directo para hacer lo mismo:

import math n=15
cur = math.pi
quotients = []
for i in range(n):
integ = math.floor(cur)
quotients.append(integ)
cur = 1/(cur - integ) llnum = quotients[0]
lnum = quotients[0]*quotients[1]+1
lldenom = 1
ldenom = quotients[1]
for i in range(2,n):
num=quotients[i]*lnum+llnum
denom=quotients[i]*ldenom+lldenom
llnum = lnum
lnum = num
lldenom = ldenom
ldenom = denom
print str(lnum)+"/"+str(ldenom)


import math n=15
cur = math.pi
quotients = []
for i in range(n):
integ = math.floor(cur)
quotients.append(integ)
cur = 1/(cur - integ) llnum = quotients[0]
lnum = quotients[0]*quotients[1]+1
lldenom = 1
ldenom = quotients[1]
for i in range(2,n):
num=quotients[i]*lnum+llnum
denom=quotients[i]*ldenom+lldenom
llnum = lnum
lnum = num
lldenom = ldenom
ldenom = denom
print str(lnum)+"/"+str(ldenom)


import math n=15
cur = math.pi
quotients = []
for i in range(n):
integ = math.floor(cur)
quotients.append(integ)
cur = 1/(cur - integ) llnum = quotients[0]
lnum = quotients[0]*quotients[1]+1
lldenom = 1
ldenom = quotients[1]
for i in range(2,n):
num=quotients[i]*lnum+llnum
denom=quotients[i]*ldenom+lldenom
llnum = lnum
lnum = num
lldenom = ldenom
ldenom = denom
print str(lnum)+"/"+str(ldenom)


Para [matemática] n = 15 [/ matemática], la convergencia es [matemática] \ frac {817696623} {260280919} [/ matemática] Puede pensar que los coeficientes son grandes porque no estoy reduciendo la fracción pero puede ser Probó que [math] P_i [/ ​​math] y [math] Q_i [/ ​​math] son ​​co-prime. Entonces esto explotará bastante rápido para que lo maneje una computadora. En teoría, puede llegar tan lejos como desee para obtener mejores y mejores aproximaciones.

Answer 3

Cuanto más largo sea, mejor será la aproximación. Se utilizan aproximaciones más cortas por conveniencia. Una aproximación con muchos dígitos que es peor que una con menos dígitos no sirve para nada.

22/7 = 3.142857 …, error = 0.001267
355/113 = 3.1415929 …, error = .000000266

Y así. Cualquiera de los dos será lo suficientemente bueno para prácticamente cualquier medida que vaya a tomar a mano. Este último es lo suficientemente bueno para todo excepto el trabajo de mayor precisión.

En cada caso, el número total de dígitos que está memorizando es aproximadamente el mismo que el número correspondiente de dígitos de pi. “335/113” es fácil de recordar debido a los dígitos repetidos, y “22/7” es conveniente si está haciendo el trabajo a mano. Si tienes una calculadora, simplemente presiona el botón “pi”.

Las otras fracciones demuestran varias formas de calcular pi y, por lo tanto, tienen valor pedagógico, pero no tienen interés en hacer cálculos. Podemos usarlos para crear aproximaciones arbitrariamente largas. Aquí hay diez billones de dígitos:

Pi – 5 billones de dígitos

Tome esos diez billones de dígitos, póngalos sobre [matemáticas] 10 ^ {1,000,000,000,000} [/ matemáticas], y obtendrá la mejor aproximación que conozco. Estoy seguro de que se romperá la próxima vez que alguien quiera probar su nueva supercomputadora; ejecutar aproximaciones más largas de pi es una forma tradicional de mostrar su nueva mega-caja.

Answer 4

Esta función de Haskell encuentra no solo infinitas aproximaciones fraccionarias de [math] \ pi [/ math], sino de hecho todas las aproximaciones fraccionarias de [math] \ pi [/ math] que no son superadas por una aproximación más simple en el mismo lado de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas].

import Data.Ratio

ltPi :: Racional -> Bool
ltPi x = ok x 1 donde ok yi = y <= 3 || (y <4 && ok ((y - 2) * (2 + 1% i)) (i + 1))

piApprox :: [Racional]
piApprox = ir 2 4 donde
ir pq = m: si ltPi m entonces ir mq más ir pm donde
m = (numerador p + numerador q)% (denominador p + denominador q)

Comienza la salida
[matemáticas] \ tfrac {3} {1}, \ tfrac {7} {2}, \ tfrac {10} {3}, \ tfrac {13} {4}, \ tfrac {16} {5}, \ tfrac {19} {6}, \ tfrac {22} {7}, \ tfrac {25} {8}, \ tfrac {47} {15}, \ tfrac {69} {22}, \ tfrac {91} {29 }, \ tfrac {113} {36}, \ tfrac {135} {43}, \ ldots [/ math].
y continúa para siempre, hasta [matemáticas] \ tfrac {2646693125139304345} {842468587426513207} [/ matemáticas] y más allá, gracias a la aritmética racional de tamaño arbitrario de Haskell. (Esto es OEIS A097545, A097546. Tenga en cuenta que [math] \ tfrac {25} {8} [/ math] es peor que [math] \ tfrac {22} {7} [/ math], pero se incluye de todos modos porque es en el otro lado de [math] \ pi [/ math].)

Que curioso ltPi función ltPi decide si [math] x <\ pi [/ math], en función de la serie Rabinowitz
[matemáticas] \ pi = \ sum_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {(i!) ^ 2 2 ^ {i + 1}} {(2i + 1)!} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 + \ frac13 \ left (2 + \ frac25 \ left (2 + \ frac37 \ left (2 + \ frac49 \ left (\ ldots \ right) \ right) \ right) \ right) [/ math] .
(Versión más rápida en los comentarios).

---

Si solo desea las aproximaciones “realmente buenas”, esta función encuentra todos los convergentes de [math] \ pi [/ math].

piConvergents :: [Rational]
piConvergents = go True 2 4 where
go spq | ltPi m = [q | not s] ++ go True mq
| otherwise = [p | s] ++ go False pm where
m = (numerator p + numerator q)%(denominator p + denominator q)

Comienza la salida
[matemáticas] \ tfrac {3} {1}, \ tfrac {22} {7}, \ tfrac {333} {106}, \ tfrac {355} {113}, \ tfrac {103993} {33102}, \ tfrac {104348} {33215}, \ tfrac {208341} {66317}, \ tfrac {312689} {99532}, \ ldots [/ math].
(OEIS A002485, A002486.)

Estas son todas las aproximaciones de la lista anterior justo antes de que el lado cambie. También son los truncamientos finitos de la expansión de fracción continua infinita de [math] \ pi [/ math] (OEIS A001203):
[matemáticas] 3, 3 + \ tfrac {1} {7}, 3 + \ tfrac {1} {7 + \ tfrac {1} {15}}, 3 + \ tfrac {1} {7 + \ tfrac {1 } {15 + \ tfrac {1} {1}}}, [/ matemáticas] [matemáticas] 3 + \ tfrac {1} {7 + \ tfrac {1} {15 + \ tfrac {1} {1 + \ tfrac {1} {292}}}}, \ ldots [/ math]
El término inusualmente alto [matemáticas] 292 [/ matemáticas] después de [matemáticas] \ tfrac {355} {113} [/ matemáticas] explica por qué [matemáticas] \ tfrac {355} {113} \ aprox 3.1415929 [/ matemáticas] es particularmente cerca por su tamaño; no vemos un término más alto hasta el 308 ([matemáticas] 436 [/ matemáticas]).

---

(Si no tiene un compilador Haskell, puede probar estos ejemplos en el teclado).

Answer 5

355/113 es una aproximación lo suficientemente precisa para todos los fines prácticos.

Suponga que mide una distancia aproximadamente desde Nueva York a San Francisco con una ‘Rueda de medición de distancia’ como esta

y supongamos, para facilitar el cálculo, que tiene un diámetro efectivo de 1 metro .

Después de 1 300 000 vueltas de la rueda, la distancia recorrida es

1 300 000 * π ≈ 4 084 070,45 m ,

mientras toma 355/113 en lugar de π :

1 300 000 * 355/113 ≈ 4 084 070,80 m

Es un error de aproximadamente 1 pie desde Nueva York a San Francisco. Es lo suficientemente preciso para la mayoría de las aplicaciones técnicas.

Answer 6

¿Cuál es la fracción más cercana conocida que puede acercarnos lo más posible a pi?

Como suele ser el caso cuando se hacen preguntas sobre [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], el número es un arenque rojo. Las fracciones (o números racionales) son un conjunto denso dentro de los números reales. Es decir, puede aproximar cualquier número real, incluidos [matemática] \ pi [/ matemática], tan de cerca como desee mediante un número racional. No hay nada especial sobre [math] \ pi [/ math] a este respecto.

Más formalmente, [math] \ forall r \ in \ mathbb R [/ math] y [math] \ forall \ epsilon> 0, \ exist q \ in \ mathbb Q [/ math] tal que [math] r \ leq q

[math] \ pi [/ math] es irracional, por lo que ningún número racional te dará exactamente , pero puedes acercarte tanto como quieras.

Si tiene la expansión decimal de cualquier número real, entonces puede obtener aproximaciones racionales cada vez más cercanas truncando el decimal. Por ejemplo:

[matemática] \ quad \ frac17 = 0. \ overline {142857} \ aprox \ frac {14} {100} \ aprox \ frac {143} {1000} \ aprox \ frac {1428571} {10000000} [/ matemática]

Para una definición adecuada, también puede obtener la “mejor aproximación racional” expresando el número real como una fracción continua. Por ejemplo:

[matemáticas] \ quad \ pi = [3; 7,15,1,292,1, \ dotsc] = 3 + \ cfrac1 {7+ \ cfrac1 {15+ \ cfrac1 {1+ \ cfrac1 {292+ \ cfrac1 {1+ \ dotsb}}}}} [/ math]

que da aproximaciones racionales de

[matemáticas] \ quad \ pi \ aprox [3; 7] = 3 + \ cfrac17 = \ dfrac {22} {7} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ quad \ pi \ aprox [3; 7,16] = 3 + \ cfrac1 {7+ \ cfrac1 {16}} = \ dfrac {355} {113} [/ matemáticas]

Answer 7

Como dijo Alan Bustany, es un arenque rojo. O tal vez es una rosa. Porque aunque puedes acercarte lo más que quieras a [math] \ pi [/ math] es una pregunta algo interesante de qué tan cerca puedes estar con una fracción lo más simple posible, con un significado simple “tener un pequeño denominador “.

[math] \ frac {22} {7} [/ math] está muy cerca de [math] \ pi [/ math], considerando que su denominador es un solo dígito. Aquí hay una tabla de las mejores aproximaciones con denominadores crecientes

Answer 8

Eso es como preguntar “¿cuál es el número más grande?”

Puede obtener representaciones decimales progresivamente mejores, p. Ej.

3/1

31/10

314/100

3141/1000

Etcétera. Se han calculado 2 billones de dígitos de pi, y si uno escribiera eso como una fracción con cada dígito ocupando 1/8 de pulgada, requeriría 3.9 x 10 ^ 9 millas. Eso está a medio camino de Plutón.

Alguien podría, por supuesto, calcular más dígitos que resulten en una fracción aún mayor.

Answer 9

Solo por su posible interés, encontré muchas aproximaciones para pi e hice una hoja de trabajo para mis alumnos. Ya he puesto las respuestas en la hoja para que las examines. Los números rojos son donde las aproximaciones se desvían de los valores adecuados.

Answer 10

Si π es normal, esperaría que el número de dígitos en las mejores aproximaciones racionales siempre sea aproximadamente el mismo que el número de dígitos exactos. Por supuesto, esto no significa que si miras lo suficiente, no encontrarás aproximaciones con medidas de precisión gradualmente crecientes. Sin embargo, las aproximaciones racionales nunca serán una mejora notable sobre recordar la expansión decimal, ya sea para un humano o una computadora.

De los pocos cientos de aproximaciones enumeradas en Aproximaciones fraccionales de Pi, solo 3 tienen una medida de +1: 355/133 (6 dígitos), 8958937768937/2851718461558 (26 dígitos) y 2646693125139304345/842468587426513000 (37 dígitos). De las primeras mil aproximaciones en Todas las aproximaciones racionales de Pi son inútiles, también hay cuatro con una medida de +3 y algunas con una medida de +2.

Answer 11

Depende de lo que quieras decir con “mejor”.

Si por ‘mejor’, quiere decir ‘aproximación más simple que produce el valor más cercano a [math] \ pi [/ math]’, entonces la fracción [math] \ dfrac {355} {113} [/ math] es difícil de superar.

[matemática] \ dfrac {355} {113} \ aprox 3.14159292035 \ ldots [/ matemática]

Teniendo en cuenta que [math] \ pi \ approx 3.14159265359 \ ldots [/ math], la representación decimal de la fracción [math] \ dfrac {355} {113} [/ math] tiene los mismos primeros siete dígitos que [math] \ pi [/ math] lo hace. Esta aproximación asombrosamente precisa de [math] \ pi [/ math] es más que suficiente para la mayoría de las aplicaciones, a pesar de su simplicidad.

Answer 12

¿Lo mejor para qué? No hay forma posible de decidir sin saber para qué desea la aproximación.

Puede dar por sentado que la mejor aproximación es la que tiene el error absoluto más pequeño. ¡Te invito a que reconsideres esto! En cualquier caso, el “error más pequeño conocido” es un objetivo en movimiento, aunque no se mueve con mucha frecuencia en estos días. Más fundamentalmente, una forma explícita como una expansión decimal puede ser irrelevante; Es probable que los cálculos extendidos produzcan versiones binarias, que luego se convierten en formas decimales menos útiles. Si lo que quieres es una construcción geométrica, cualquiera será bastante inútil. Lo que realmente desea puede ser una marca adicional en una regla de cálculo (¿alguien los usa en estos días?).

Para muchos propósitos, la versión correcta y conveniente de [math] \ pi [/ math] es completamente exacta, es decir, [math] \ pi [/ math].

Answer 13

Tengo el valor de error del 0% de Pi en la calculadora científica.

Pi = A / B

dónde,

A = (114758660 * 10 ^ 15) – (275582 * 36528816)

B = (36528816 * 10 ^ 15)

Por favor comente que es correcto o no.

Answer 14

Algunas buenas aproximaciones para pi dependen de diferentes usos. Aquí hay una muestra

---

7 ^ 7/8 ^ 6 = 3.141567230 Este es el mejor en números 2-3-5-7.

1521/484 = 3.142561983 Uno de los mejores en cuadrados, 39/22

sqrt (800/81) = 3.1426968 Un valor muy antiguo conocido por las descripciones

1728/550 = 1 pie cu = 2200 cil. en.

22/7 = Usado para definirnos galones del cilindro de 6 pies cúbicos en alto × 7 pulgadas de diámetro.

377/120 De los sumerios

191/600 = ángulo sólido de 120 celdas (5,3,3) = radianes = 57.3 grados

Answer 15

No existe la mejor aproximación fraccionaria, pero una aproximación fraccional dada puede ser mejor que cualquier otra aproximación con un denominador más pequeño. Consulte Wikipedia sobre aproximación de diofantina para obtener más detalles.

Answer 16

Este es bastante bueno. Solo saca el punto decimal y divide entre 10 ^ 10000000 para obtener una fracción.

http://pi.karmona.com/

Answer 17

He encontrado que una buena medida es: si [math] p = m / n [/ math] es una aproximación de [math] \ pi [/ math] entonces la fórmula:

[matemáticas] -log2 (| p – \ pi |) – (log2 (m) + log2 (n)) [/ matemáticas]

muestra cuántos bits se ponen en la aproximación, frente a cuántos bits precisos salen. Según esta medida, [matemática] 22/7 [/ matemática] vale 4, y [matemática] 355/113 [/ matemática] vale más de 8.

No he encontrado una mejor aproximación todavía.

Answer 18

No existe tal “mejor”:
Veamos:
3 = 3
3.1 = 31/10
3.14 = 314/100
3.141 = 3141/1000
3.1415 = 31415/10000
3.14159 = 314159/100000
…
Puedes seguir haciendo esto hasta que te sientas aburrido.
Para cualquier número irracional i.
Y un pequeño número positivo arbitrario d.
Siempre puedes encontrar un número racional r.
Tal que:
| ir |

Significa que, para cualquier número irracional, puede encontrar una aproximación racional en cualquier precisión requerida.

Answer 19

“Mejor” es un término relativo.

La mejor representación racional de pi sería imposible de encontrar porque siempre puedes encontrar otra que se acerque.

Pero aquí hay dos números que pueden resultarle útiles:

22/7 es solo un 0.04% diferente de pi.

La raíz cúbica de 31 difiere solo en un 0.02%.

Answer 20

La única vez que necesitaría usar una aproximación pi sería si tuviera que hacer cálculos con lápiz y papel y no hubiera una calculadora disponible. Por lo general, en estos casos utilizo 22/7 como mi aproximación, ya que es una fracción que es fácil de manejar pero aún muy cercana a pi (7pi es 21.99114858 …)