La sección de preguntas relacionadas me trajo aquí y pensé que ya había hecho esta Integral. Incluso he publicado una respuesta en Quora que incluye esta integral (donde la prueba está disponible).
Lo dirigiré a esa publicación: vea (1) en la respuesta del usuario de Quora a ¿Cuáles son algunas integrales y trucos impropios interesantes que pueden usarse para resolverlos?
La respuesta es :
[matemáticas] \ displaystyle \ {\ int_1 ^ {\ infty} \ frac {\ {x \} – \ frac {1} {2}} {x} dx = -1 + \ ln (\ sqrt {2 \ pi} )}[/matemáticas]
Ejercicio divertido para ti, una vez que hayas terminado con esa Integral. Quizás te interese probar esto:
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[matemáticas] \ displaystyle \ \ bbox [8pt, borde: 2px # 0099FF sólido] {\ left (\ int_1 ^ {\ infty} \ frac {\ {x \} – \ frac {1} {2}} {x} \ right) ^ 2 dx = \ ln (2 \ pi) – \ frac {7} {4}} [/ math]