Cómo calcular [matemáticas] \ int_ {0} ^ {t} e ^ s dw (s) [/ matemáticas] con w (s) un movimiento browniano ~ N (0, s)

Answer 1

Primero, observe que la integral es una variable aleatoria. Su interés, entonces, debería ser encontrar la distribución de la variable aleatoria para una [matemática] t [/ matemática] arbitraria.
Hay muchas maneras de hacerlo, algunas de las cuales son difíciles (por ejemplo, resolver un PDE de Fokker-Planck) y otras son sencillas. A continuación se muestra la más fácil que se me ocurre.

Tenga en cuenta que su proceso no tiene término de deriva. Suponiendo que está pensando en una integral Itō, entonces su integral es una martingala. Ahora, considere el siguiente resultado bien conocido: la integral de Itō de un integrando determinista es una variable aleatoria normalmente distribuida con media 0 y varianza igual a [math] \ int_0 ^ tf ^ 2 (s) \ mathrm {d} s [/ math ], donde se encuentra f para el integrando En realidad, esto es cierto en condiciones más suaves, pero no necesitamos los detalles adicionales. De hecho, esto ya nos ha dado la familia de la distribución de la integral y la media.

¿Qué pasa con la varianza? Sabemos cómo calcular eso también, a partir del resultado mencionado anteriormente. Solo necesitamos evaluar

[matemática] \ int_0 ^ t \ exp (2 s) \ matemática {d} s [/ matemática]

Afortunadamente, esto no es un desafío, y obtenemos [math] \ exp (t) \ mathrm {sinh} (t) [/ math]. Dado que la familia de distribuciones es normal, media y varianza, hemos especificado completamente la distribución de la variable aleatoria representada por la integral.