¿Cuál es el valor mínimo de [matemáticas] z [/ matemáticas] si [matemáticas] z = x ^ 2 + y ^ 2 + 2 xy + 6 x + 6 y + 4 [/ matemáticas]?

Tenga en cuenta que z factoriza a
[matemáticas] (x + y + 3) ^ 2 – 5 [/ matemáticas]
Entonces el valor mínimo es -5

porque
[matemáticas] (x + y + 3) ^ 2 \ geqslant 0 [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] (x + y + 3) ^ 2 – 5 \ geqslant -5 [/ matemáticas]


La factorización se puede hacer de la siguiente manera
[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 6x + 6y + 4 [/ matemáticas]

= [matemáticas] (x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy) + 6x + 6y + 4 [/ matemáticas]

= [matemáticas] (x + y) ^ 2 + 6x + 6y + 4 [/ matemáticas]

= [matemáticas] (x + y) ^ 2 + (6x + 6y) +4 [/ matemáticas]

= [matemáticas] (x + y) ^ 2 + 2.3 (x + y) + 4 [/ matemáticas]

= [matemáticas] (x + y) ^ 2 + 2.3 (x + y) +9 -9 + 4 [/ matemáticas]

= [matemáticas] [(x + y) ^ 2 + 2.3 (x + y) +9] -9 + 4 [/ matemáticas]

= [matemáticas] [(x + y) + 3] ^ 2 -9 + 4 [/ matemáticas]

= [matemáticas] (x + y + 3) ^ 2 – 5 [/ matemáticas]

El valor mínimo de cualquier función parabólica ax ^ 2 + bx + c se da como (-D / 4a) obtenido en el punto x = -b / 2a (si a> 0); D = discriminante.

(Puede diferenciar la función general ax ^ 2 + bx + c y verificar esto)

Ahora, para esta función, podemos reorganizar z para formar un polinomio en x de la siguiente manera:

z = x ^ 2 + (2y + 6) x + (y ^ 2 + 6y + 4)

Aquí podemos variar x manteniendo y como algo constante hasta que z alcance el mínimo.

Entonces, el valor mínimo de z = – [(2y + 6) ^ 2–4 (y ^ 2 + 6y + 4)] / 4 = (y ^ 2 + 6y + 4) – (y + 3) ^ 2 = 4 –9 = -5.

Alternativamente, podemos reorganizar z para formar un polinomio en y y el resultado será el mismo.

Tenga en cuenta que aquí afortunadamente, y desapareció y no tuvo ningún papel en la determinación del valor mínimo de x. Pero si y no desapareció en la expresión reordenada, tendríamos que variar y de la misma manera y determinar el valor mínimo para la parte de esta expresión reorganizada que contiene y para obtener el valor mínimo general de z.

Otras respuestas han proporcionado soluciones interesantes. El problema de minimización dado puede ser resuelto por un CAS como Mathematica utilizando la función incorporada Minimizar y escribiendo una línea de código.

Mecanografía :

Minimizar [x ^ 2 + y ^ 2 + 2 xy + 6 x + 6 y + 4, {x, y}]

da el resultado o salida:

{-5, {x -> 0, y -> -3}}

El resultado anterior significa que el valor mínimo de [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 2 xy + 6 x + 6 y + 4 [/ matemática] en [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] y = -3 [/ math] es igual a -5.

Las funciones integradas de Mathematica MinValue [] y FindMinValue [] también darán el valor mínimo [math] -5 [/ math].

Cabe señalar que la función de Mathematica NMinimize [] proporciona un valor mínimo numérico de [matemáticas] -5 [/ matemáticas] en [matemáticas] x \ aprox -1.63403936154541 [/ matemáticas] y [matemáticas] y \ aproximadamente -1.36596064567157 [ /matemáticas] .