¿Cuál es el error teórico en [matemáticas] 1 = \ sqrt {(- 1) (- 1)} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {-1} \ sqrt {-1} = i ^ 2? [/ matemáticas]

Answer 1

Para calificar como una declaración de problema adecuada, diría que esta pregunta necesita más contexto: para qué tipo de números es la identidad propuesta a aplicar: [math] \ mathbb {N}, \ mathbb {Z}, \ mathbb {Q} , \ mathbb {R} [/ math] o [math] \ mathbb {C} [/ math]?

Si la identidad se aplica a [math] \ mathbb {C} [/ math], iría con las respuestas dadas por el Sr. Joyce y el Sr. Bustany.

Si la identidad se aplica a [math] \ mathbb {R} [/ math], entonces de izquierda a derecha tenemos:

[matemáticas] 1 = \ sqrt {1} \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

que es legal, según la definición de la función [matemática] f (x) = \ sqrt {x} [/ matemática] (en reales).

A continuación, si lo toma como una definición de multiplicación como lo sugiere Alon Amit aquí o decide probar lo siguiente usando los axiomas de campo:

[matemáticas] 1 = 1 + 0 = 1 + 0 \ cdot (-1) = 1 + (- 1 + 1) \ cdot (-1) = \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + (- 1) \ cdot (-1) +1 \ cdot (-1) = \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 1) \ cdot (-1) + 1 \ cdot 1 + 1 \ cdot (-1) = \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] (- 1) \ cdot (-1) + 1 \ cdot (1 + (- 1)) = \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 1) \ cdot (-1) + 1 \ cdot 0 = (-1) \ cdot (-1) \ tag * {} [/ matemáticas]

Este paso también es legal:

[matemáticas] 1 = \ sqrt {1} = \ sqrt {(- 1) \ cdot (-1)} \ tag {2} [/ matemáticas]

Sin embargo, el siguiente paso para dividir la raíz cuadrada de un producto en un producto de raíces cuadradas no es legal ya que esa operación se define solo para números no negativos (reales):

[matemáticas] \ sqrt {(- 1) \ cdot (-1)} \ neq \ sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} \ tag {3} [/ matemáticas]

y por lo tanto constituye la falacia.

Answer 2

√a * √b = √ab solo si al menos uno de ‘a’ y ‘b’ es un entero no negativo.
Aquí está escribiendo 1 = √1 = √ (-1 * -1) = √-1 * √-1, en el que ambos números son negativos. Entonces, esto no está de acuerdo con la regla anterior, por lo que es teóricamente incorrecta.

Answer 3

Inicialmente parece ser cierto, pero se está olvidando de que las raíces cuadradas tienen un positivo y un negativo que no son iguales entre sí, a pesar de que cuando se multiplica, obtiene la misma respuesta.

Además, esta regla que estás usando, que puedes multiplicar raíces cuadradas negativas para obtener un número positivo, no es cierta porque si multiplicas las funciones que te dan este número, verás que no obtienes 1 , por lo tanto, la respuesta que ha obtenido es falsa.

Por cierto, ¿por qué está esto en gramática inglesa?

Answer 4

No debe mezclar dos cosas diferentes, la expresión [matemática] \ sqrt {x} [/ matemática] definida para [matemática] x \ geq 0 [/ matemática] como el número no negativo (único) [matemática] a [/ matemática ] satisfaciendo [matemática] a ^ 2 = x [/ matemática] (definida inequívocamente) y el símbolo [matemática] \ sqrt {-1} [/ matemática] que es una de las dos soluciones arbitrarias de la ecuación [matemática] x ^ 2 + 1 = 0 [/ math] en un conjunto mayor que [math] \ mathbf {R} [/ math] denotado [math] \ mathbf {C} [/ math], que también está equipado con operaciones [math] [/ math], [math] – [/ math], [math] \ cdot [/ math], [math] / [/ math] (excepto 0 en el denominador) y llamó a una extensión de campo de [math] \ mathbf {R} [/ math]. Tenga en cuenta que no hay distinción entre estas dos soluciones: si me dice que es su [matemática] i [/ matemática], puedo decir que mi [matemática] i [/ matemática] es lo mismo que su [matemática] – yo [/ matemáticas].

Si definió [math] \ sqrt {1} [/ math] de la misma manera que definió [math] i [/ math], no tendría ningún problema con su “prueba:”

[matemáticas] \ {- 1,1 \} = \ sqrt {1} = \ sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = \ {i, -i \} \ cdot \ {i, -i \ } [/ matemáticas] = [matemáticas] \ {i ^ 2, -i ^ 2 \} \ cup \ {- i ^ 2, i ^ 2 \} = \ {- 1,1 \} [/ matemáticas]

Answer 5

En el dominio de los números complejos, el signo de la raíz cuadrada está mal definido. No es útil y solo causa confusión. En el dominio de los números reales positivos, está bien definido como la raíz positiva: [matemáticas] \ sqrt {x} = t [/ matemáticas] significa [matemáticas] t \ geq 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] t ^ 2 = x [/ matemáticas]. En el plano complejo, [math] t \ geq 0 [/ math] no tiene sentido, no significa nada.

Answer 6

El segundo signo igual es donde está el error. La ecuación [math] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ sqrt {b} [/ math] solo se aplica si [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​reales no negativos números.

Answer 7

La raíz cuadrada de un número es una función de valores múltiples. En particular [math] \ sqrt 1 = \ pm 1 [/ math]. Preserve los valores múltiples y no hay error. Es decir:

[matemáticas] \ pm 1 = \ sqrt 1 = \ sqrt {-1 \ veces-1} [/ matemáticas]

[math] = \ sqrt {-1} \ times \ sqrt {-1} = \ pm i \ times \ pm i = \ mp (i ^ 2) [/ math]

Answer 8

El error es que esto es en realidad una ecuación y lo que está haciendo en esta expresión es marcar una opción y: no funciona. Observe que su raíz cuadrada ya no tiene un valor asociado tan pronto como pase al reino complejo.

[matemáticas] 1 = \ sqrt {(- 1) (- 1)} = \ sqrt {-1} \ sqrt {-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {-1} = i [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {-1} = – i [/ matemáticas]

Eso hace cuatro opciones. Solo estos dos trabajan a la izquierda

[matemáticas] 1 = i (-i) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = (- i) i [/ matemáticas]

y estos dos trabajan a la derecha

[matemáticas] ii = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (- i) (- i) = – 1 [/ matemáticas]

Obviamente, no hay coincidencia para que tanto la izquierda como la derecha sean iguales a como lo deseabas.

Answer 9

El error está en la segunda expresión. Si pone [matemática] 1 = -1 * -1 [/ matemática] y enraíza ambos lados, obtendrá [matemática] \ sqrt {1} = \ sqrt {-1 * -1} [/ matemática]. No puede usar la propiedad de multiplicación de raíz cuadrada porque solo se aplica a números mayores que cero. La respuesta sería [math] \ sqrt {-1 * -1} = \ sqrt {1} = 1 [/ math], por lo tanto [math] 1 = 1 [/ math].

[math] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ sqrt {b} [/ math] solo cuando ayb son números reales mayores que [math] 0 [/ math]

Mis fuentes incluyen mi profesor de cálculo que tiene una maestría en matemáticas, así como el sitio web. ¿Alguien puede explicar esta prueba de la propiedad del producto de las raíces cuadradas? .

Answer 10

Cuando escribes 1 = √ (−1) √ (-1)
Entonces habría utilizado √ (a) * √ (b) = √ (ab) PERO esto es válido solo para números reales pero √ (-1) no es un número real, por lo tanto, existe el error.

Answer 11

El error es afirmar que 1 = (√-1) (√-1). No es asi. √-1 x √-1 por definición debe ser igual a -1. Estás mirando los signos negativos y viendo 2 de ellos, por lo que pensar 2 negativos es igual a un positivo, y eso es cierto para los números reales, pero recuerda que √-1 NO es un número real. Por definición, √-1 es un número imaginario i.

Answer 12

La propiedad [math] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ sqrt {b} [/ math] solo es válida para ayb mayor o igual que cero.

Answer 13

[matemáticas] 1 = \ sqrt {1} \ veces \ sqrt {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] -1 = \ sqrt {-1} \ veces \ sqrt {-1} = i ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 14

-1 tiene dos raíces.
Yo y yo.
i ^ 2 = (-i) ^ 2 = -1
i * (- i) = 1