Si los números complejos son imaginarios, ¿cuál es su significado en el mundo real? ¿Por qué deberíamos estudiar números complejos?

Answer 1

Lo primero es lo primero, los números imaginarios son tan mentales como los números reales. No hay nada imaginario sobre ellos en el sentido literal y técnicamente son tan reales como el número real. El hecho es que, como los reales se definieron primero, necesitábamos llamar a su complemento como el complemento de real en inglés.

¿Un número que resuelve la ecuación [matemática] x ^ 2 – 1 = 0 [/ matemática] no parece mucho más racional que un número ‘racional’ típico? ¿Hay algo que te haga sentir negativo sobre [matemáticas] -2 [/ matemáticas]? Entonces, ¿qué te hace pensar que los números imaginarios son imaginarios y los números reales no lo son?

Intenta pensar en el plano 2D. ¿Te imaginas el eje XY? Ahora solo cambiamos el nombre del eje X como la línea real y el eje Y como la línea imaginaria. Muy pronto, te darás cuenta de que esta extensión tiene mucha más aplicación de la que generalmente puedes imaginar. Todos los números reales están solo en el eje X, todos los números imaginarios están en el eje Y y todas sus combinaciones lineales ahora se pueden trazar como puntos en este gráfico. ¡Ahora, cualquier polinomio de grado [matemático] n [/ matemático] tendrá exactamente [matemática] n [/ matemático] intersecciones con 0 y por lo tanto exactamente [matemático] n [/ matemático] raíces! Ganamos tantas propiedades que la pérdida de desigualdades parece bastante pequeña. ¡Para muchos matemáticos, este es el paraíso! Pueden hacer tanto con esta extensión que el análisis complejo todavía está vivo con la investigación que da un nuevo significado a nuestro conocimiento de las matemáticas, incluso hoy en día. Esta única extensión de números reales tiene tantas aplicaciones para ingenieros en señales de sistemas, circuitos eléctricos y tantos campos, que es imprescindible aprender sobre ellos si quieres convertirte en un buen ingeniero o matemático.

Answer 2

Hay 3 razones por las cuales las personas estudian números complejos, 2 de ellos muy buenos y uno terrible.

En primer lugar, son muy útiles: –

* Se pueden usar para modelar ciertos tipos de circuitos eléctricos, por lo que son ampliamente utilizados por los ingenieros.
* Los números complejos se pueden usar para representar algunas transformaciones geométricas simples, por lo que a veces los usan los programadores de computadoras, incluidas las personas que producen juegos de computadora.
* El análisis complejo se puede utilizar para modelar ciertos casos simples de flujo de fluido.
* Los números complejos se utilizan en la mecánica cuántica, lo que nos ha dado sartenes antiadherentes, telas artificiales utilizadas por diseñadores de ropa, nuevos tipos de aleaciones, energía nuclear, ingeniería genética, láseres, LED y chips de silicio. De hecho, las computadoras baratas no serían posibles sin la mecánica cuántica.

Sería posible hacer todo eso sin usar números complejos, pero sería mucho más difícil, tanto hacer los cálculos como comprender el tema. El físico Roger Penrose, considerando la forma en que la mecánica cuántica sigue las reglas de los números complejos, ha sugerido que los números complejos son más fundamentales para la forma en que funciona el universo que los números ‘ordinarios’ con los que todos están familiarizados.

En segundo lugar, ¡los números complejos son divertidos!
– OK, no para todos.

En tercer lugar, muchas personas los estudian porque están obligados a hacerlo como parte de un curso, a menudo sin saber por qué. Eso debe ser horrible. Pídale al maestro que le explique o cambie de rumbo.

Answer 3

Bueno, todos los números son imaginarios. Los números representan cantidades de cosas reales. Los números en sí mismos no son reales

La historia de los números complejos se parece mucho a la historia de Rudolph, el reno de nariz roja. Rudolph era un reno con una nariz brillante y brillante, y otros renos se burlarían de él. Sin embargo, un día, Santa estaba buscando un reno para tirar de su trineo, y encontró a Rudolph. Tomó a Rudolph porque su nariz brillante podía iluminar el camino, y se convirtió en el primer reno.

Los números complejos son como Rudolph. Un par de matemáticos en Italia en el siglo XVIII los inventaron, aunque no les sirvió de nada. Inventó todo un lenguaje matemático para hacer cálculos sobre ellos. Otros matemáticos se burlarían de él y lo llamarían con su nombre. Llamaron al sistema de números “imaginario”, porque no tenían un uso real para ellos. En realidad, creo que incluso los creadores llamaron a estos números como números “simulados” o algo así. Finalmente la gente los olvidó

Luego, a fines del siglo XVIII, otro matemático se da cuenta de que la geometría puede ser mucho más simple si usa números complejos. Porque las reglas para manejar ecuaciones bidimensionales son las mismas reglas para números “imaginarios”. Sin embargo, el uso de las matemáticas imaginarias hizo que todo fuera más fácil de entender. ¿Y todos eran como en serio? ¡Guauu! ¡¡¡Tipo!!! Nos burlamos de Rudolph durante unos 200 años, y ahora son la apuesta de siempre. Lo mejor es que puedes extender estas matemáticas a cualquier cantidad de dimensiones. 3/4/5 no importa; Solo necesitas descifrar las reglas.

Finalmente, la gente comenzó a encontrar más usos para los números “imaginarios”. ingeniería eléctrica, teoría magnética, física cuántica. Tu dilo. Nuevamente, las cosas que representa el número complejo no son imaginarias. Como una señal eléctrica sinusoidal es real. Lo tocas ¡Tu mueres! Muy real.

Las matemáticas son siempre abstractas, y usan números “imaginarios” para representar cosas reales y hacer cálculos sobre ellas. No importa si los números utilizados para representar las cosas reales son complejos o no complejos.

Answer 4

Dado que muchas respuestas aquí ya cubren los detalles, intentaré responder con un lenguaje más simple. Esta será una respuesta larga … Para empezar, intentemos comprender qué dimensiones son:

1 D o Dimensión única : imagine un pequeño insecto (hormiga) dentro de una delgada pajita de cola (lo suficientemente ancha como para que la hormiga se mueva en 2 direcciones). La hormiga nació en un lugar así y vive toda su vida en este tubo. Para esta criatura todo es una línea recta, no hay concepto de ancho. Para llegar a cualquier lugar en el tubo, todo lo que la hormiga tiene que hacer es moverse N pasos hacia adelante o hacia atrás.

Ahora, si se le pide a este insecto que se mueva 2 pasos hacia la izquierda (o hacia la derecha), es muy difícil que perciba tal instrucción. Si avanzar es positivo y retroceder es negativo. Entonces cada posición puede ser de -n a + n pasos de distancia.

Término matemático: una recta numérica.

2 D o dos dimensiones : imagina otra hormiga en una hoja de papel infinita.
La realidad de esta hormiga se arrastra por esta superficie. La hormiga es consciente de 4 direcciones hacia adelante, hacia atrás, izquierda y derecha. Para llegar a cualquier otra posición en el papel, todo lo que necesita saber la hormiga es si el número de pasos en dos direcciones son izquierda / derecha y adelante / atrás. Si avanzar / derecha es positivo y hacia atrás / izquierda es negativo. Entonces cada posición puede ser de -n a + n pasos en 2 direcciones. Ejemplo en un tablero de ajedrez para moverse de una esquina extrema a la otra, todo lo que tiene que hacer es moverse 8 pasos hacia la derecha y 8 pasos hacia adelante. escribamos esto como (8, 8) => (pasos correctos, pasos hacia adelante). Del mismo modo para retroceder, uno necesita moverse (-8, -8)

Término matemático: un plano

Dimensión 3 D o 3 : ¿Qué sucede si pegas un alfiler en este documento? ¿Qué pensará esta hormiga de una instrucción más arriba o abajo? Probemos con otro ejemplo. Considera que vives en una casa en la primera planta de la calle 1st Avenue, descrita como (1, 3, 0) y tu amigo vive en el quinto piso, 4th Street 1st Avenue (4,1,5), para conocer a tu amigo, debes cruzar 3 calles, 2 avenidas y subir 5 pisos, por lo que necesitas 3 instrucciones para conocerlo.

Término matemático: eje cartesiano

¿Existen otras dimensiones?
¡Por supuesto que lo hacen! Algunos son muy sencillos de comprender, mientras que otros no. Sigamos con el mismo ejemplo. donde vives en el lugar (por simplicidad) vamos a llamarlo (1,3,0) y tu amigo tiene una fiesta en su casa (4,1,5), ahora el problema es que la fiesta es a las 5 o ‘ reloj, este parámetro adicional acaba de convertir su mundo 3 D en un mundo 4 D. Porque a pesar de que la casa de amigos permanece en el mismo lugar, ¡para asistir a la fiesta tendrás que llegar a tiempo ! Entonces el tiempo es la cuarta dimensión.

Ahora que el trabajo de base está hecho, pasemos al complejo sistema de números. Si
[matemáticas] x ^ 2 = 4 [/ matemáticas], entonces x es 2 o -2
lo cual no es obvio
Ahora que pasa si
[matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ matemáticas], ¿cuál es el valor de x en este caso?

Entonces definimos un número iota i, tal que [matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática], ahora uno puede cuestionar por qué es esto importante, déjenme regresar al ejemplo de 2 D y lo que sucede cuando la hormiga encuentra un alfiler en el medio de la hoja. Matemáticamente hablando, es algo similar, es algo así como ese pin, en nuestro mundo, los matemáticos no pueden ignorarlo , porque es una realidad.

El único problema es que no podemos asignarle un valor. De ahí el término imaginario. Pero esto no significa el fin del mundo, aunque no podemos definir un valor para iota, tenemos algunas maneras muy agradables de procesarlo. Algunas de ellas son:
i – i = 0
i * i = -1

No entraré en detalles de uso, pero los números complejos se usan en ondas, ruidos de transmisión y física. Pero lo más importante para mí es que abren nuestros ojos para ver algo que puede no ser muy obvio al principio, pero que, sin embargo, existe.

Answer 5

¿Por qué “deberíamos” “nosotros” aprender sobre números complejos? Bueno, ¿quién es “nosotros”?

No pretendo que todos se beneficien enormemente de aprender números complejos. No todos se benefician fuertemente de aprender álgebra. De todos modos, te contaré una pequeña forma en que me beneficié (como estudiante de matemáticas) al aprender sobre números complejos:

Cuando tomé la trigonometría, no era el tipo de persona que podía memorizar fácilmente las fórmulas de suma de ángulos, etc. Pero una vez que aprendí la fórmula de Euler, me resultó fácil deducirlas cuando las necesitaba. Ahora sí sé la mayoría de las fórmulas básicas de memoria, en parte porque la fórmula de Euler me dio una comprensión más profunda de ellas.

De todos modos, eso no es aplicable a todos, tampoco es particularmente emocionante. También podría decir:

El estudio de los números complejos nos da una comprensión más profunda tanto del álgebra como del cálculo. En particular, comenzamos a ver una fuerte conexión entre la geometría plana y el álgebra de los números complejos. Por ejemplo, la fórmula de Euler le dio a Gauss un método algebraico para desarrollar la construcción de brújula y regla de un Heptadecágono regular, que los geómetras no habían logrado por métodos tradicionales durante más de 2,000 años.

Si tiene algún cálculo en su haber, consulte el teorema de residuos para obtener dos ejemplos de lo que puede hacer un poco de conocimiento de análisis complejo.

La hipótesis de Riemann es una conjetura en análisis complejo que, si se prueba, tendría enormes implicaciones en otras ramas de las matemáticas. El artículo de Wikipedia tiene muchos detalles.

Hay mucho más por ahí. En resumen, para un matemático, aprender sobre números complejos lo ayuda a ver partes del glaciar proverbial que se encuentran debajo de la superficie . Le brinda una visión más amplia y más poderosa de los números reales.

Si cree que las aplicaciones en ingeniería eléctrica podrían ser más interesantes, busque un EE para realz y envíeles un A2A.

Por cierto, no dejes que la palabra “imaginario” te moleste. Muchos términos en matemáticas no son tan significativos como parecen. Si toma un curso de álgebra abstracta, es posible que se pregunte por qué un “grupo” se llama “grupo”, por qué un “anillo” se llama “anillo”, por qué un “campo” se llama “campo”, ¿Qué hace que un grupo sea más grupal que un anillo? ¿Qué tiene de redondo un anillo y qué tiene de campo un anillo con multiplicación conmutativa y que contiene un recíproco para cada uno de sus elementos distintos de cero? No hay una razón particularmente fuerte para estos términos, y lo que sea que evoquen en la imaginación de un hablante de inglés típico generalmente debe ignorarse.

Answer 6

Los números complejos no son necesariamente números imaginarios. Los números imaginarios son solo una parte de la formulación de números complejos.

Por otra parte, los números imaginarios no son imaginarios en el sentido literal de la palabra. Verifique la respuesta de Arijit Layek a ¿Existen realmente los números imaginarios, y hay alguna cantidad física que sea realmente compleja?

Finalmente, incluso si es poco probable que encuentre cantidades físicas de valor complejo, como la cantidad de lluvia o la temperatura de su baño caliente, los números complejos se usan con frecuencia en ingeniería eléctrica y otros dominios, como la física teórica. Sirven para ampliar nuestros puntos de vista y proporcionan una visión más profunda de diversos análisis.

Digamos, análisis de señal por ejemplo. Sin la Transformada de Fourier y otras técnicas similares, no tendremos avances sorprendentes en este campo. Desde la compresión JPEG hasta el algoritmo FFT: todo se basa en números complejos. El análisis con números complejos hace que sea mucho más fácil tratar el problema. Da la imagen completa.

Por lo tanto, no menosprecies los números complejos. Podrían constituir una gran parte de sus estudios de posgrado.

Answer 7

[matemáticas] x ^ {2} – 1 = 0 [/ matemáticas]. x puede ser +/- 1. ¡Hurra!
[matemáticas] x ^ {2} + 1 = 0 [/ matemáticas]. ¡Ay!

[matemáticas] e ^ {i * \ pi} + 1 = 0 [/ matemáticas]. Me pregunto. ¿Cómo se vinculan pi y e?

Transformada de Laplace, dinámica de fluidos 2D, análisis de señales, relatividad.

Ningún número complejo me pone triste.

Answer 8

Los términos números “reales” y números “imaginarios” son nombres horribles, y realmente deberíamos dejar de usarlos. ¿Alguna vez has visto un 7 caminando por la calle? Por supuesto no. Todos los números son “imaginarios” en el sentido en que los inventamos.

En lo que respecta al universo, los números “imaginarios” son tan REALES como los números “reales”. Una vez más, permítanme enfatizar que: El universo sabe sobre números complejos (es decir, imaginarios). Aparecen en muchas aplicaciones del mundo real. El hecho de que no aparezcan en todo tipo de aplicaciones no debería molestarnos. Si estoy contando mis ovejas, podría notar que siempre tengo un número entero. No podemos tener la mitad de una oveja. ¿Eso significa que debemos deshacernos de las fracciones? Por supuesto no.

Answer 9

No te aburriré con una explicación de encontrar la raíz cuadrada de un número negativo o encontrar las raíces imaginarias de ciertas ecuaciones, que es la explicación normal que se da por qué se desarrollaron los números complejos.

Los números complejos o las señales complejas NO son reales. Solo los números REALES o las señales valoradas reales son reales. Los números complejos tienen un componente real y un componente imaginario trazado en su propio plano llamado plano complejo. En ingeniería eléctrica, las señales complejas se utilizan para resolver ciertas tareas de manipulación de señales para facilitar el problema. Es decir, es una “conveniencia matemática” calcular ciertas operaciones de señal.

Fundamentalmente, si considera la relación de Euler que relaciona el exponencial complejo con senos y cosenos, verá que para representar un sinusoide de forma compacta como un exponencial complejo (en EE llamamos a esto un fasor que es una notación útil que reduce el consumo de tiempo sinusoidal cálculos a los algebraicos.) fue útil establecer la analogía de que se puede crear una sinusoide girando un fasor (piense en una manecilla de reloj). Es decir, si marco un punto con tiza en el neumático de una bicicleta y monto mi bicicleta y básicamente trazo la posición de la marca de tiza en función del tiempo a medida que la bicicleta avanza, obtendré una sinusoide. Pero para demostrar esto matemáticamente, un simple vector rotativo en un plano xy no funcionará. Es mucho más fácil pensar en términos de (1, j, -1, -j) a medida que el vector gira en el plano complejo. Recuerde que un exponencial complejo puede mostrar de manera compacta tanto la magnitud como la fase.

En el caso más simple para problemas de circuito analógico para preguntas como cómo reaccionaría este circuito si tuviera que alimentar una señal sinusoidal como Acos (wt), primero debe transformarlo en una notación compacta (fasor) donde puede usar reglas aritméticas más simples para realizar los cálculos y luego transformarlos nuevamente en un dominio de tiempo (forma senoidal) para la respuesta final. Para redes más difíciles y complicadas, utilizamos transformaciones de Laplace. ¿Por qué? Porque resolver ecuaciones diferenciales en la forma del dominio del tiempo natural de pecado-cos es más difícil y requiere mucho tiempo.

En la teoría de la comunicación avanzada (utilizada en teléfonos celulares y similares), las señales de valores complejos se utilizan para realizar ciertas manipulaciones de señal. Sin embargo, ¡no te confundas! No podemos medir, escuchar o percibir señales valiosas complejas en la vida real. Existen señales valiosas complejas dentro de la electrónica de comunicación, pero para que podamos medirlas en el mundo real, deben ser valoradas en última instancia. En los pasos finales de cualquier dispositivo de comunicación, la parte real de una señal de valor compleja se retiene y la porción imaginaria se descarta. Es decir, en última instancia, la señal compleja se transforma en una señal de valor real para que podamos escucharla o medirla en el mundo real.

Answer 10

En una oración, si tengo que explicar sobre números complejos, entonces diría:
“Los números imaginarios son solo números reales pero son números reales en diferentes dimensiones. Y la combinación de cantidades de diferentes dimensiones es un número complejo “.

¿¿Confuso??
Ok … consideremos un ejemplo simple para entender las cosas pictóricamente …
Todos conocen el eje xy bidimensional estándar:

Supongamos que el eje x representa la recta numérica real (con la que estamos muy familiarizados). Entonces, si multiplicamos ‘i’ (iota) a cualquier número en el eje x, pasaremos a otra dimensión (es decir, al eje y). Ahora, nuevamente, si multiplicamos el número resultante con ‘i’ (iota), nuevamente volveremos al eje x.

…
Por lo tanto, se puede decir que un número imaginario se usa matemáticamente para diferenciar una cantidad con otra cantidad dimensional. Y la combinación de cantidades presentes en diferentes dimensiones es un número complejo.
Espero que esto ayude..
Si eres un ingeniero electrónico / eléctrico, mientras estudias sobre ondas electromagnéticas, circuitos eléctricos (tridimensional), realmente puedes entender cuáles son sus usos.

Answer 11

La pregunta que podría hacerse es si existe una comprensión intuitiva de lo que es un número imaginario, en términos de nuestra experiencia física diaria. Los números enteros representan números enteros de cosas (10 manzanas, 23 botellas, etc.), los números reales representan cosas que tienen una variación continua (el peso de una manzana, la opacidad de una botella) …

Pero antes de llegar a números complejos, primero puede preguntar qué es un número negativo (continuo real o entero), ya que no es fácil pensar en una cantidad negativa de cosas (una manzana siempre tiene peso o masa positiva, y un número total positivo )? Entonces, surgen números negativos al hacer una comparación entre las cosas (cuántas manzanas tengo hoy en comparación con ayer: si compré / encontré / recogí menos manzanas de las que comí / perdí / me robaron, entonces tendré menos manzanas y un número negativo en comparación con ayer). Más generalmente, los números negativos indican un cambio de dirección y un caso especial de vectores en 1 dimensión, pero además de la suma, podemos multiplicar un número por un número negativo que actúa para intercambiar la “dirección” del número (o más comúnmente referido a como el signo del número).

Ahora, si comenzamos a pensar en puntos en un plano, en lugar de una línea, podemos definir dos líneas (ejes) que se rotan 90 grados (ortogonales) entre sí y un punto o dirección en ese plano puede codificarse como un número complejo ; cuánto voy a lo largo de un eje, forma la primera parte de un número complejo (la parte ‘real’), luego cuánto voy a lo largo del otro eje ortogonal es la segunda parte del número complejo (la parte ‘imaginaria’) – entonces un número complejo podría verse como un vector con una longitud y dirección. Pero también podemos multiplicar números (generalmente complejos) por un número complejo para producir otro número complejo rotado y dilatado *. En el caso simple, la acción de multiplicar por el número de unidad imaginaria i tiene el efecto de rotar un número complejo por 90 grados en sentido antihorario, por lo tanto, si comenzamos con el número 1 (que representa un punto / vector que apunta a lo largo del eje real hacia a la derecha) y multiplicamos por i , obtenemos i un número complejo que representa un punto / vector apuntando hacia arriba, a lo largo del eje imaginario; si multiplico el número (1+ i ) (que apunta 45 grados en sentido antihorario desde el eje real) por i , obtengo -1+ i , que apunta 135 grados desde el eje real y se ha girado 90 grados. Entonces, lo que permite el número imaginario es la forma de hacer una comparación entre las cosas en un plano, es decir, la dirección relativa de las cosas; multiplicar por un número negativo cambia la dirección (o gira 180 grados) y multiplicar por el número imaginario gira 90 grados. Entonces, aquí es donde entra lo hermoso de todo esto, si multiplico i por sí mismo, obtengo un número rotado por 90 + 90 = 180 grados, ¡que es solo -1! ¡Entonces la raíz cuadrada de -1 no es tan misteriosa después de todo!

* Tenga en cuenta que no existe convencionalmente una forma de multiplicar dos vectores que resulte en otro vector, lo cual es isomorfo a la multiplicación de dos números complejos; sin embargo, el producto geométrico de vectores de Clifford le proporciona exactamente esto y, de hecho, hay un más profundo estructura matemática que subyace a todo esto, donde el álgebra cerrada de un plano consiste en un escalar (número real), 2 vectores ortogonales (digamos e1 y e2) y un pseudoescalar (números imaginarios), cada uno como objetos geométricos distintos – vea http: / /en.wikipedia.org/wiki/Geo … o http://geometry.mrao.cam.ac.uk para más detalles.

Answer 12

En ingeniería eléctrica, tenemos que lidiar con muchas cantidades de la forma [math] \ cos {(\ omega t)} [/ math] (piense en el voltaje de CA, las ondas de sonido, las ondas electromagnéticas, …).

Ahora, en lugar de manipular estos cosenos todo el tiempo, preferiríamos tener una cantidad más simple: [matemáticas] e ^ {j \ omega t} [/ matemáticas], que sabemos que es [matemáticas] \ cos {(\ omega t )} + j \ sin {(\ omega t)} [/ math]. Este es el fasor que se ha mencionado en una respuesta anterior. Siempre podemos volver a la cantidad de coseno tomando la parte real del fasor. Entonces, en cierto sentido, aunque sabemos que el voltaje que llega a su sala de estar se modela mejor con un coseno, generalmente lo modelamos con un exponencial imaginario.

¿Por qué?
Porque la aritmética de los fasores es más fácil que la aritmética de los cosenos. Por ejemplo, imagine que desea calcular la intensidad de corriente en un condensador. La corriente a través del condensador es proporcional al tiempo derivado del voltaje aplicado al condensador. Si este voltaje tiene la forma de un fasor, entonces su derivada del tiempo es simplemente [math] j \ omega e ^ {j \ omega t} [/ math].

Todo el campo del procesamiento de señales (piense en audio, video, telecomunicaciones, …) se basa en este formalismo.

Answer 13

La premisa de su pregunta es incorrecta. En el mundo real real , los números imaginarios son tan importantes como los reales. Ahora, antes de comenzar, me gustaría tomarme un momento y aplaudir la forma en que Steve Purtee ha explicado. Su respuesta es casi completa.

Continuaré donde lo dejó. Aunque no contamos las ovejas en fracciones, hay muchas otras sustancias tangibles y cotidianas que contamos en fracciones, por lo que Steve, su lógica es un poco defectuosa allí. Ahora, así como puede usar fracciones para medir la cantidad de pasteles que le quedan en su refrigerador, puede usar números imaginarios para calcular y representar muchos otros objetos del día a día. Básicamente es un lenguaje para representar cualquier tema 2D.

Y por 2D, no me refiero solo a objetos geométricos. Puede representar cualquier materia que esté representada por 2 variables usando números complejos.

Probemos por algunos ejemplos. No entraré en la física cuántica, etc., porque no se usan generalmente en el día a día. Pero supongamos que está en un viaje de campamento con sus amigos y se ha perdido. Llamas a la radio y hablas con tus amigos. De acuerdo con la enseñanza que he recibido, ambos deben detectar una entidad cercana (por ejemplo, árbol, montaña, acantilado, arroyo, etc.), visible para ambos, y ambos deben proceder. Digamos por alguna razón, puedes ver el gran roble viejo, pero no puedes llegar a él. Digamos que una corriente corre por allí.

Entonces, podría preguntarle a su amigo qué tan lejos creen que está el roble de su ubicación. Dirán aproximadamente 70-75 yardas al este y 20-25 yardas al norte. Intenta verificar tu distancia y calcula que está aproximadamente a 40-50 yardas al oeste y aproximadamente 100-120 yardas al norte.

De repente, su genio cerebral se da cuenta de que necesita caminar aproximadamente 110-130 yardas hacia el este y 20-25 yardas hacia el norte para encontrarse con sus amigos. Eso, mi amigo es la magia del 2D.

Probemos algo más. Estás organizando una fiesta y quieres mantener una proporción saludable de chicos y chicas, para que todos estén contentos. En tu círculo de amigos, tienes 8 chicos y 6 chicas. Lo más probable es que las chicas conozcan más chicas y los chicos conozcan más chicos. Entonces le pides a todos que inviten a sus amigos y te den una idea aproximada genérica de las personas que han invitado. Aquí, supondré que los chicos son reales y que las chicas son imaginarias (por favor, no bromeen sobre cómo tuvimos chicas imaginarias en mi alma mater. Por favor. 😛)

Entonces, tu contribución es 8 + 6i. Ahora, digamos que el círculo de amigos de tu amigo es simétrico al tuyo, es decir, conocen 4 x personas de su propio sexo y 3 x personas de sexo opuesto, donde x, es una constante que define la popularidad de tus amigos. Entonces tus amigos sabrán en total 8 x (4 + 3i) x personas y las amigas sabrán un total de 6 x (3 + 4i) x personas.

En total, debes prepararte para (32 + 24i) X + (18 + 24i) X de invitados, donde X es la representación general de la popularidad de tu amigo. Llevando a tus amigos a ser tan populares como tú, tienes 100 chicos y 96 chicas que vienen. Que tengas una fiesta divertida.

Answer 14

Hay muchas respuestas posibles a esta pregunta, elegiré una respuesta que pueda entenderse fácilmente

Los números complejos aparecen como soluciones de muchos tipos de problemas en matemáticas. Entre muchas otras partes de las matemáticas, los números complejos aparecen como raíces de polinomios, que resultan ser ecuaciones escalares con coeficientes reales.

Entonces, tenemos un problema cuantitativo que describe una magnitud escalar del mundo real, entonces, se describe mediante parámetros que resultan ser números reales (los coeficientes del polinomio).

Cuando la solución de la ecuación que describe el problema incluye números complejos, lo que significa es que, aunque pensamos que el problema solo tenía una sola dimensión, de hecho, hay otra dimensión que hemos pasado por alto, pero la solución de La ecuación nos da la respuesta adecuada, describiendo en detalle todo lo que necesitamos saber, incluida la dimensión “faltante”.

Esto es exactamente lo que los números complejos traen a la luz en este tipo de problemas.

Entonces, de hecho, los números complejos no implican ningún misterio, ni complejidad de comprensión en sí mismos.

Saludos cordiales, GEN

Answer 15

No te confundiré dando explicaciones detalladas.
Pero, hay varios ejemplos que prueban una y otra vez que los números complejos facilitan muchas cosas y te hacen ‘aceptar’ números complejos. Citaré un ejemplo simple:

Considere la transformación rotacional de un punto P (x, y) por un ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] .. es decir, dónde aterriza P cuando es rotada por [matemática] \ theta [/ matemática] grados alrededor del origen ¿en sentido contrario de las manecillas del reloj?

A) Intente hacer esto mediante la trigonometría habitual (olvide la matriz de rotación. Derive desde cero)

B) Ahora, haga esto por Análisis complejo.
Considere P en un plano complejo, con P = x + iy. Ahora multiplique P con [matemáticas] e ^ {i \ theta} [/ matemáticas] .. es decir, el nuevo punto
P ‘= [matemáticas] (x + iy) * [\ cos \ theta + i \ sin \ theta] [/ matemáticas].
P ‘= [matemáticas] [x \ cos \ theta-y \ sin \ theta] + i [x \ sin \ theta + y \ cos \ theta] [/ matemáticas]

Por lo tanto, el nuevo punto en el plano XY es = ([matemática] x \ cos \ theta-y \ sin \ theta [/ matemática], [matemática] x \ sin \ theta + y \ cos \ theta [/ matemática]).
¿No es eso brillantemente simple? Mira cuánto esfuerzo te salvó.
Hay muchos ejemplos de este tipo que te harán amar el análisis complejo.

Answer 16

RESPUESTA CORTA
Los números complejos son ampliamente utilizados en campos de ingeniería, particularmente en ingeniería eléctrica, mecánica y civil, donde las matemáticas y la física juegan un papel dominante. Y en otros campos también. Se han desarrollado ramas enteras de matemáticas avanzadas basadas en números complejos.

RESPUESTA LARGA
Aquí hay una manera simple de pensar en números complejos:

Un número REAL es un punto en una línea. Una línea, por supuesto, es unidimensional.

Un número COMPLEJO es un punto en un plano. Entonces, el sistema de numeración complejo es simplemente una extensión del sistema de numeración real a dos dimensiones.

Los dos ejes del plano complejo son la PARTE REAL y la PARTE IMAGINARIA del número complejo. El eje imaginario se etiqueta como “i” porque i se usa para representar el número imaginario de la unidad. El número imaginario de la unidad se define como la raíz cuadrada de -1.

(La raíz cuadrada de -1 no existe en números reales porque no hay un número real que, cuando se eleva al cuadrado, es igual a -1. Pero dado que i se define como la raíz cuadrada de -1 en el sistema de numeración complejo, i ^ 2 = -1. Entonces sí existe en el sistema de numeración complejo. Se llama imaginario porque no existe en el sistema de numeración real).

Un número complejo, como a + ib, es un punto (intersección) en el plano complejo donde el eje real es a y el eje imaginario es b.

Un número complejo es solo otra forma de representar un par ordenado. Por ejemplo, el par ordenado (a, b) se puede representar como a + ib. El número imaginario i es lo que mantiene separadas las partes imaginaria y real. La coma hace lo mismo para el par ordenado.

Answer 17

Pregunta del día:
Simplifique [math] \ cos (t + \ frac {\ pi} {4}) + 3 \ sin (t – \ frac {\ pi} {3}) [/ math]

Responda sin número complejo:
Bueno … eh …

Responde con ellos:
Sencillo.

Primero, configuramos representaciones complejas de ambas funciones. Teniendo en cuenta que [math] \ cos (x- \ frac {\ pi} {2}) = \ sin (x) [/ math], establecemos el cosinus igual a 1 y el seno igual a j. Ahora, la resta de un ángulo es igual a la rotación en la dirección positiva.

Explicación:
[matemáticas] 1 \ cdot \ frac {\ sqrt 2 – \ sqrt 2 j} {2} + 3j \ cdot \ frac {1 + \ sqrt 3 j} {2} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ izquierda (\ frac {\ sqrt 2 – 3 \ sqrt {3}} {2} \ right) + \ left (\ frac {- \ sqrt 2 + 3} {2} \ right) j [/ math]
Entonces al final obtenemos:
[matemáticas] \ left (\ frac {\ sqrt 2 – 3 \ sqrt {3}} {2} \ right) \ cos (t) + \ left (\ frac {- \ sqrt 2 + 3} {2} \ right ) \ sin (t) [/ math]

Fácil, cierto!

Answer 18

Yo solía hacer la misma pregunta.

El centavo se me cayó mientras estudiaba ingeniería eléctrica, en ese momento me di cuenta de su importancia.

Desde entonces, encuentro que la mejor manera de pensar en números imaginarios / complejos es pensar en ellos como un cambio de rotación / fase de una onda. Con solo una onda, generalmente no tienen mucho efecto, sin embargo, cuando combina dos ondas con diferentes cambios de fase, el efecto puede ser dramático (ya sea amplificando o cancelando partes de la onda). Considere la situación en la que el viento destroza un puente.

Entonces, como otros han mencionado, tienen importancia en el mundo real.

Vale la pena echarle un vistazo a la sección “Me gusta las manos en un reloj” de la página siguiente para ver algunas ilustraciones muy bonitas de números complejos en juego – Cómo doblar un fractal de Julia

Answer 19

Los números imaginarios no están ordenados, por lo que desafían el sentido común que asignamos a los números reales. Sin embargo, los números imaginarios se definen de tal manera que multiplicar dos de ellos produciría un número real. Este puente de lo imaginario al mundo real permite que los números imaginarios se manifiesten en una variedad de aplicaciones, como se ha mencionado en muchas respuestas a esta publicación.

La pregunta sigue siendo, en mi opinión: ¿por qué las matemáticas requieren números que se convierten en reales una vez que se multiplican entre sí y, por lo tanto, cancelan su propiedad imaginaria?

Además de los números complejos, hay otros sistemas de números a considerar, por ejemplo, cuaterniones.

Answer 20

El uso de “imaginario” se remonta a una época en que los matemáticos no se sentían cómodos con el concepto de raíces de números negativos.

Los matemáticos utilizan hoy el término “números complejos” para describir los números que pueden tener una porción aditiva que es un número real ordinario multiplicado por la raíz cuadrada de -1.

Los números complejos surgen naturalmente cuando buscamos las raíces de los polinomios. Puede ver cómo sucede esto al considerar la parte raíz cuadrada de la fórmula cuadrática.

Un número complejo z se puede escribir como
z = x + iy
Donde x = parte real
y = parte imaginaria
i = sqrt (-1)

Si trazamos x vs y en una cuadrícula rectangular,
Entonces también tenemos una forma polar
z = r (cos phi + i sin phi) = r exp (i phi)
r se llama el módulo de z
Phi es la fase.

Números complejos surgen en una gran cantidad de aplicaciones. Por ejemplo
Teoría del procesamiento de señales, física matemática, ingeniería eléctrica, imágenes, propagación de ondas, etc., donde se encuentran funciones oscilatorias, existen números complejos.

Los métodos de variables complejas nos permiten resolver problemas que no podemos resolver de otra manera, o solo con gran dificultad.

De hecho, las variables complejas son la finalización de las matemáticas reales valoradas.