¿Cuál es el concepto de una ecuación? ¿Cuáles son algunos de los detalles más finos que proporcionan una visión más profunda de la idea de una ecuación?

Answer 1

Para muchos estudiantes, y para muchas personas que ya no son estudiantes, las ecuaciones pueden ser muy confusas, y esto a menudo es causado por sutilezas de las que no se habla con suficiente frecuencia en la educación matemática. Intentaré mencionar algunos.

La mayoría de las ecuaciones contienen variables , o varias letras que significan cosas conocidas o desconocidas (según algunas definiciones, todas las ecuaciones deben contener al menos una variable). Entonces se vuelve crucial entender la oración completa alrededor de la ecuación: ¿qué debemos hacer con las variables? ¿Se supone que debemos encontrarlos? ¿Se supone que debemos asumir que pueden tomar cualquier valor, y la ecuación se mantendrá?

Por ejemplo, considere estas dos ecuaciones:

[matemáticas] x ^ 2 + 4x + 4 = (2x + 3) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + 4x + 4 = (x + 2) ^ 2 [/ matemáticas]

Para el ojo inexperto, esas ecuaciones se parecen bastante. Pero en realidad son muy diferentes.

La primera ecuación plantea un problema a resolver. Dicho completamente, debería decir algo como:

“Encuentre todos los valores de la variable [matemática] x [/ matemática] para la cual la ecuación [matemática] x ^ 2 + 4x + 4 = (2x + 3) ^ 2 [/ matemática] es verdadera”.

Si resuelve esto, encontrará que hay dos valores: [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] -5/3 [/ matemática]. Si intenta [matemática] x = 1 [/ matemática], por ejemplo, la ecuación fallará: tiene [matemática] 9 [/ matemática] en el lado izquierdo y [matemática] 25 [/ matemática] a la derecha .

La segunda ecuación es diferente. Es una identidad , algo que es válido sin importar qué [matemática] x [/ matemática] sea. Dicho completamente, debería ir

“Para cada número [matemática] x [/ matemática] es cierto que [matemática] x ^ 2 + 4x + 4 = (x + 2) ^ 2 [/ matemática]”.

Si intenta abordar esta última ecuación como un problema a resolver, en lugar de encontrar dos valores de [math] x [/ math] que satisfagan el requisito, encontrará que cada valor posible de [math] x [/ math ] cumple el requisito. Esto se manifestará cuando, al realizar las manipulaciones habituales para resolver ecuaciones, termine con una tautología como “[matemáticas] 0 = 0 [/ matemáticas]” o, como diría la mayoría de los estudiantes, “No tengo nada igual nada “o” wtf, todo desapareció “.

La mayoría de los estudiantes se confunden mucho cuando esto sucede, aunque es totalmente legítimo que ocurra. Las identidades son buenas ecuaciones, es solo que sus conjuntos de soluciones son “todo”.

Las variables en las ecuaciones deben cuantificarse o aparecer en alguna oración que aclare lo que dice o pregunta la ecuación.

---

Otra sutileza, que causa aún más confusión, depende de especificar el dominio apropiado de las variables. Muy, muy a menudo encontrarás problemas planteados así:

“Encuentre todas las soluciones [matemáticas] x [/ matemáticas] a [matemáticas] x ^ 3 = 2 [/ matemáticas]”.

Esto se ve bien porque hay una oración completa que nos pide que encontremos valores para [math] x [/ math], pero carece de una especificación adecuada de lo que se supone que es [math] x [/ math]. ¿Un número real? ¿Un número complejo? ¿Quizás solo un número racional? El número de soluciones es diferente en cada caso: no hay soluciones racionales, una única solución real y tres complejas.

El hábito, la convención y el descuido conversacional hacen que las personas a menudo descuiden mencionar el dominio del discurso. Innumerables problemas en los libros de texto, e innumerables preguntas sobre Quora, buscan soluciones sin mencionar qué tipo de soluciones se buscan.

Algunas convenciones son razonablemente comunes y es bueno estar familiarizado con ellas. Las variables como [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] generalmente denotan números reales. Las variables como [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] generalmente denotan enteros, mientras que [matemática] i [/ matemática] y [matemática] j [/ matemática] son ​​típicamente números naturales, [matemática] z [/ math] es complejo, y [math] \ theta [/ math] es un ángulo (un número real con alguna unidad implícita como grados o radianes, e indiferente a sumar múltiplos de un círculo completo).

Ninguno de estos es universalmente cierto.

Como otra demostración, veamos estas dos ecuaciones, las cuales son en realidad identidades:

[matemáticas] (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + AB + BA + B ^ 2 [/ matemáticas].

La mayoría de los matemáticos reconocerían fácilmente lo que significan y que ambos son ciertos, aunque no dicen exactamente lo mismo. La primera identidad es verdadera para números familiares, y más generalmente en cosas llamadas anillos conmutativos. La segunda ecuación es verdadera para las matrices, por ejemplo, y para otras cosas que no necesariamente cambian.

Para ver el poder de la convención y las referencias implícitas al dominio, considere la ecuación confusa

[matemáticas] (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + xy + yx + y ^ 2 [/ matemáticas].

Dice exactamente lo mismo que la segunda ecuación anterior, pero usa nombres de variables que generalmente representan números y, por lo tanto, es bastante confuso si se establece sin contexto.

Las variables en una ecuación deben cuantificarse con precisión , especificando su dominio requerido.

---

La ecuación [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas] es otro tipo de ecuación. No es un problema a resolver, ni es una identidad. Es una declaración sobre el mundo natural que solo tiene sentido una vez que las letras [matemáticas] E [/ matemáticas], [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas] se interpretan correctamente.

Nuevamente, surge una confusión considerable cuando las personas malinterpretan el significado de esas variables, y con una ecuación famosa como esta, la frecuencia de la mala interpretación es muy alta.

---

Las ecuaciones pueden ser difíciles de resolver, difíciles de probar o difíciles de descubrir. Pero no deberían ser confusos. Mientras todos recordemos hablar en oraciones completas y definir nuestros términos, el significado y la importancia de las ecuaciones que usamos deben ser claras.

Answer 2

Ecuaciones en general ? Realmente no.

Es un gran objetivo esforzarse por comprender profundamente y buscar la profundidad que acecha debajo de la superficie de la simplicidad. Pero no siempre vas a tener éxito en encontrarlo. (De hecho, rara vez lo harás).

Pero supongo que los términos de la pregunta – “detalles más finos” y “mayor comprensión” – están en el ojo del espectador, por lo que quizás no sea un desperdicio tratar de decir más.

Una ecuación nace del hecho de que hay más de una forma de describir algo. Cuando dice 1 + 1 = 2, todo lo que dice es que “1 + 1” y “2” significan lo mismo. No necesariamente aprendes nada. Por supuesto, si no sabe nada acerca de algunos de los símbolos de la ecuación, entonces aprenderá algo sobre esos símbolos. Por ejemplo, si sabe lo que significa “1” y “+”, entonces “1 + 1 = 2” le permite entender “1 + 2”. Es posible que no lo llame “3”, pero al menos “1 + 2” ahora es una expresión con significado.

Yendo en una dirección ligeramente diferente, a menudo hay más de una forma de interpretar lo que significa el signo igual en una ecuación. Ciertamente, en la aritmética de la escuela primaria sabemos lo que significa cuando escribimos “1 + 1 = 2”, y no hay nada realmente matizado al respecto. Pero en matemáticas un poco más avanzadas, desarrollas la noción de una relación de equivalencia. Hablando en términos generales, obtienes una relación de equivalencia al ignorar cierta información sobre las cosas que estás estudiando, y solo te enfocas en el resto.

Por ejemplo, suponga que el tren llega a la estación cerca de usted cada diez minutos, comenzando a la hora. Nunca es tarde Odias esperar en la plataforma durante tres minutos o más, porque huele mal. No le importa esperar en ningún otro lugar del mundo, solo que no en la plataforma del tren. Digamos que lleva un minuto desde el momento en que ingresa a la estación hasta el momento en que espera en la plataforma.

Un día, estás almorzando con tus amigos y todos comienzan a irse. El restaurante está, digamos, a 7 minutos de la plataforma. Miras tu reloj y ves que son las 1:35. Si te vas ahora, estarás en la estación a la 1:42, luego estarás en la plataforma a la 1:43. Eso significa que tienes que esperar siete minutos horribles en la plataforma; eso no funcionará!

De acuerdo … en lugar de irte ahora, puedes esperar en el restaurante por, digamos, 5 minutos. Eso significa que te vas a la 1:40, llegas a la estación a la 1:47, subes a la plataforma a la 1:48 y luego solo esperas 2 minutos. Eso es mejor. O puedes irte a las 1:41 y esperar 1 minuto. O puede esperar 15 minutos y tomar el tren a las 2:00.

Así que hay todos estos momentos que “funcionan” para salir del restaurante: 1:40, 1:41, 1:50, 1:51, etc. Si todo lo que le importaba no era esperar mucho un tren , entonces podría escribir 1:41 = 1:51. Si no conocía el contexto, esa ecuación se ve mal en su cara. Pero el punto es “=” no significa igualdad estricta … es igualdad en el contexto de una relación de equivalencia.

No sé … no hay mucho más que realmente se pueda decir acerca de las ecuaciones. 🙂

Answer 3

Por una ecuación generalmente entendemos la siguiente estructura:
f (x, p) = 0, [matemáticas] x∈D_ {x} [/ matemáticas], [matemáticas] p∈D_ {p} [/ matemáticas]

es decir:
x = lo desconocido, con un dominio
p = el parámetro, con un dominio
una función f que depende de xyp (y se define por separado)

Cada una de x, p y f puede ser unidimensional, multidimensional o infinita, y se obtiene, por ejemplo,
“una ecuación”, “un sistema de ecuaciones”, “una ecuación funcional”, “una ecuación diferencial ordinaria”, “una ecuación diferencial parcial”, etc.

La ecuación tiene una “solución”, que generalmente es multifunción: depende del parámetro, es un conjunto, puede tener más de un elemento, puede ser nula.
Por lo general, intenta responder el siguiente tipo de preguntas:
Preguntas de tipo cualitativo:
* ¿La ecuación tiene una solución?
* ¿La solución es única?
* ¿La dependencia de la solución de los parámetros es suave?
Preguntas de tipo cuantitativo:
* Para cada valor posible del parámetro, encuentre todas las soluciones posibles
* Encuentre la derivada de la solución con respecto a los parámetros (Estática comparativa)

Para algunos tipos particulares de ecuaciones, obtiene algunas preguntas más, por ejemplo:
* para ecuaciones diferenciales, las incógnitas son funciones, por lo que encontrar la solución significa también encontrar el dominio de la solución, que también depende de los parámetros, por lo que también depende del dominio de la solución de los parámetros.
* para un control óptimo, los parámetros son funciones, lo que complica las cosas
* para un control óptimo estocástico, tanto las soluciones como los parámetros son funciones aleatorias, lo que complica aún más las cosas.

Espero que ayude … 🙂

Answer 4

Muy buena pregunta
y la respuesta tiene un profundo significado matemático y filosófico.
¡Una “ecuación” es una declaración de igualdad absoluta y completa!
primero aprendemos “=” “es igual a” como “hay una respuesta a una Q”.

Ejemplo que es 2 + 3; 2 + 3 es igual a 5
pero este NO es el significado matemático profundo;
igual significa “IDÉNTICO”, completamente y absolutamente igual en todos los sentidos, excepto en la forma en que está escrito.

2+ 3 = 5 es una ecuación. No es una pregunta.

oo + ooo = ooooo en todas las formas posibles. Excepto la forma en que está escrito,

los símbolos “2” “+” “3” y “5 ‘presagio; y MIRAR DIFERENTE
ooooo 0 0000; oo ooo: etc es la única diferencia.

Tal como; La velocidad es la distancia dividida por el tiempo.

Entonces, E = MC ^ 2 no significa que las unidades de energía se puedan calcular en Masa y velocidad de las unidades de luz: significa que la Energía ES Masa multiplicada por la luz al cuadrado.
y también E = Corriente * El voltaje o la fuerza multiplicada por la distancia o las unidades de calor son idénticamente energía, cualquiera que sea la energía “realmente es”
podemos calcular en unidades eléctricas, trabajo físico, relativista, calor o lo que sea apropiado.

Algunas ecuaciones en álgebra tienen declaraciones generales para todas las situaciones posibles Y TAMBIÉN valores específicos en aritmética:
y = 2x es verdadero para cualquier x y su correspondiente y. 6 = 2x debe “resolverse” para encontrar x debe ser 3.

Las ecuaciones de cálculo tienen soluciones algebraicas (a veces) y también valores numéricos específicos para condiciones específicas.

hay “ecuaciones” matemáticas más altas que pueden tener cálculo como “respuesta”

Esto lleva años de estudio de matemáticas.

historia simple Hebreos, romanos y griegos tenían números para contar o nombrar cosas. 3 manzanas, etc. NO podían IMAGINAR las cosas cero porque si no tenían nada no sabían qué cosa no tenían.

Los indios asiáticos y otros inventaron o descubrieron que CERO “0” era un NÚMERO, era la respuesta a 3-3 o cualquier otro similar.

multiplicar por cero NO fue un problema matemático. fue un operador matemático que dijo “cambia lo que sigue a cero”
mucho que aprender em directo [correo electrónico protegido]

Answer 5

El concepto detrás de una ecuación (con incógnitas) es relativamente simple: es como la trama de una buena historia de detectives. Eres el detective y es la historia. Toma algo que no sabe, lo combina con lo que sí sabe y cree que encontrará lo que no sabe (pero a veces no lo sabrá, porque simplemente no hay suficiente evidencia). El viaje es una historia elegante en sí misma.

Answer 6

Una ecuación es una expresión en la que un lado derecho (RHS) y un lado izquierdo (LHS) están separados por un signo igual “=”.

Se dice que una ecuación es verdadera o está satisfecha si ambos lados de “=” son iguales o tienen el mismo valor (en un sentido bien definido). Se dice que es falso, o no está satisfecho, si las dos partes no son iguales.

Por lo general, una ecuación involucra una o más variables desconocidas, que representan algunos valores que no se conocen. Resolver una ecuación que tenga una o más variables desconocidas es encontrar valores de las variables para que la ecuación se vuelva verdadera o satisfactoria.

Una ecuación puede ser siempre verdadera, en cuyo caso cualquier valor es una solución, o siempre falsa, en cuyo caso no hay solución. Puede ser cierto para ciertos valores específicos de las variables desconocidas, pero falso para todos los demás valores.

Una ecuación también se puede usar para hacer una definición, en la cual el RHS es una expresión bien conocida y se usa para asignar un significado al LHS. El LHS no tiene significado antes de su definición, y está destinado a ser el RHS después de que se haga la definición.

Answer 7

Una ecuación significa que dos entidades separadas por un símbolo, por ejemplo ‘=’, tienen el mismo significado / interpretación cuantificable en nuestro cerebro.

Además, en mi opinión, la idea de “raíz” de una suma algebraica proviene de la idea budista de que la nada es la “raíz” de todo. Esto se debe a que los budistas responden la pregunta “¿Por qué hay algo en lugar de nada?” Al decir que realmente no hay nada, y todo lo que vemos, oímos, sentimos, pensamos, etc. es una ilusión. En consecuencia, para ellos, todo lo que debe ser “suma” a la nada; o dicho de otra manera, todo nace de la nada, o dicho de otra manera, la nada es la “raíz” / origen (al igual que la raíz de una planta) de todo.

¿Qué tiene esto que ver con la “raíz” de una suma algebraica?

Digamos que hay una suma algebraica, por ejemplo, 2 * x +3. Para que una suma algebraica tenga una ‘raíz’, necesitaríamos encontrar un valor de x para el cual esa suma algebraica desaparezca. Tenga en cuenta que no todas las sumas algebraicas pueden desaparecer (por ejemplo, 2 + 2), pero para las sumas que pueden desaparecer, ¿cuál es ese número que llevaría la suma a su “raíz”? Para encontrar la respuesta a eso, equiparamos esta suma algebraica a 0 (que es el equivalente más cercano a la nada en el campo de los números racionales), por ejemplo, 2 * x + 3 = 0, y luego resolvemos para x, lo que nos da -3/2 , por lo tanto, x = -3 / 2 es la “raíz” de esta suma algebraica.

(Esta idea de ‘raíz’ también puede extenderse a otras estructuras algebraicas)

Answer 8

Tantas respuestas ya. Entonces el mío será corto.
Una ecuación es una pregunta, dada a través de la igualdad de dos cantidades algebraicas:
2x + 7 = 17 (en [matemáticas] \ mathbb {Z} [/ matemáticas], buscamos x.

Answer 9

Permítanme comenzar mi respuesta de esta manera: ‘ecuación’ está relacionada con el adjetivo ‘igual’ y el sustantivo ‘igualdad’. Todos tienen en común el significado de ‘ser lo mismo’.
Entonces, en matemáticas, si tienes una ecuación, como por ejemplo, x = 1, esto significa que la variable x es igual a 1 y viceversa. En este caso, x también se puede usar como marcador de posición para un valor, si aparece en otras partes de un sistema de ecuaciones.