Cómo calcular la integral [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ frac {\ ln (1-x)} {x} \ mathrm {d} x [/ math]

Answer 1

Voy a llevarlo a través de un viaje inusual, pero espero que aprenda más de este método y también vea la forma general de esto.

Comencemos con la integral:

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- kx} x ^ {s-1} dx, k> 0 [/ matemáticas]

Ahora sustituto:

[matemáticas] \ displaystyle \ u = kx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- u} \ left (\ frac {u} {k} \ right) ^ {s-1} \ frac {du} {k} [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ frac {1} {k ^ s} \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- u} u ^ {s-1} du = \ frac {\ Gamma (s)} {k ^ s} [/ matemáticas]

La suma de ambos lados da:

[matemáticas] \ displaystyle \ \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ int_0 ^ {\ infty} e ^ {- kx} x ^ {s-1} dx = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ Gamma (s)} {k ^ s} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ = \ Gamma (s) \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ s} = \ Gamma (s) \ zeta (s) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ Gamma (s) \ zeta (s) = \ int_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} e ^ {- kx} dx [/matemáticas]

La suma en el integrando es una serie geométrica y, por lo tanto, se puede calcular fácilmente.

[matemáticas] \ displaystyle \ \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} e ^ {- kx} = \ frac {1} {e ^ x-1} [/ math]

Inmediatamente tenemos lo asombroso:

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} dx = \ Gamma (s) \ zeta (s) [/ math]

Ahora sustituto:

[matemáticas] \ displaystyle \ p = s-1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ p} {e ^ x-1} dx = \ Gamma (p + 1) \ zeta (p + 1) [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ p} {e ^ x-1} dx = \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ p} {e ^ x (1- e ^ {- x})} dx [/ matemáticas]

Sustituto:

[matemáticas] \ displaystyle \ u = e ^ {- x} \ implica u = \ frac {1} {e ^ x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ ln u = -x \ implica x = – \ ln u [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle \ \ frac {du} {dx} = – e ^ {- x} = -u [/ math] so [math] dx = – \ frac {du} {u} [/ math]

Entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ p} {e ^ x (1-e ^ {- x})} dx = \ int_1 ^ 0 \ frac {(- \ ln u) ^ p} {\ frac {1} {u} (1-u)} \ frac {-du} {u} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int_0 ^ 1 \ frac {(- \ ln u) ^ p} {1-u} du [/ math]

Así

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int_0 ^ 1 \ frac {(- \ ln u) ^ p} {1-u} du = \ Gamma (p + 1) \ zeta (p + 1) [/ math]

De todos modos, ahora su pregunta es cuándo [matemáticas] p = 1 [/ matemáticas] Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int_0 ^ 1 \ frac {- \ ln u} {1-u} du = \ Gamma (1 + 1) \ zeta (1 + 1) [/ math]

Sustituir [matemáticas] \ displaystyle \ y = 1-u [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int_0 ^ 1 \ frac {\ ln (1-y)} {y} dy = – \ Gamma (2) \ zeta (2) = – \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/matemáticas]

Answer 2

Dejando [math] t = 1-x [/ math], tenemos

[matemáticas] I = \ int_0 ^ 1 \ frac {\ ln (1-x)} {x} \ mathrm {d} x = \ int_0 ^ 1 \ frac {\ ln t} {1-t} \ mathrm {d } t [/ matemáticas]

Expandir [math] (1-t) ^ {- 1} [/ math] como [math] 1 + t + t ^ 2 + \ dotsi [/ math] y pasar la integral a través de la suma, (lo cual es seguro hacer aquí) obtenemos

[matemáticas] I = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ int_0 ^ 1t ^ n \ ln t \ mathrm {d} t = – \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1 } {(n + 1) ^ 2} = – \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

donde hemos usado el resultado (probado a continuación)

[matemáticas] \ int_0 ^ 1t ^ m \ left (\ ln t \ right) ^ n \ mathrm {d} t = (- 1) ^ n \ frac {n!} {(1 + m) ^ {n + 1 }}[/matemáticas]

---

Para [math] (n \ in \ mathbb {N}) [/ math] estamos interesados ​​en integrales de la forma

[matemáticas] \ int_0 ^ 1x ^ m (\ ln x) ^ n \ mathrm {d} x [/ math]

Considere, la integral [matemáticas] I (a) = \ int_0 ^ 1x ^ a \ mathrm {d} x = \ frac {x ^ {a + 1}} {a + 1} | _0 ^ 1 = \ frac {1 } {a + 1} [/ matemáticas]

¿Qué sucede si diferenciamos la ecuación anterior wrt [math] a [/ math] una vez; obtenemos [matemática] \ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} a} = \ int_0 ^ 1 \ frac {\ partial x ^ a} {\ partial a} \ mathrm {d} x = \ int_0 ^ 1x ^ a \ ln x \ mathrm {d} x = – \ frac {1} {(1 + a) ^ 2} [/ math]

Por lo tanto, diferenciando [matemáticas] n [/ matemáticas] veces (y utilizando el hecho de que [matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} ^ n} {\ mathrm {d} t ^ n} \ left (\ frac {1} {t} \ right) = (- 1) ^ n \ frac {n!} {t ^ {n + 1}} [/ math]) obtenemos [math] \ displaystyle \ frac {\ mathrm {d} ^ nI } {\ mathrm {d} a ^ n} = \ int_0 ^ 1x ^ a (\ ln x) ^ n \ mathrm {d} x = (- 1) ^ n \ frac {n!} {(1 + a) ^ {n + 1}} [/ matemáticas]

Finalmente, obtenemos la fórmula ordenada [matemática] \ displaystyle \ int_0 ^ 1x ^ m (\ ln x) ^ n \ mathrm {d} x = \ left (\ frac {\ mathrm {d} ^ nI} {\ mathrm { d} a ^ n} \ right) _ {a = m} = (- 1) ^ n \ frac {n!} {(1 + m) ^ {n + 1}} [/ math]

Tenga en cuenta que, [math] m [/ math] no necesita ser un número entero. De hecho, podemos ser completamente generales dejando que [math] n \ in \ mathbb {R} [/ math] use derivados fraccionales.

Salud !

Answer 3

[matemáticas] \ int_ {0} ^ 1 \ dfrac {\ ln (1- (1-x))} {1-x} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int_ {0} ^ 1 \ dfrac {\ ln x} {1-x} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int_ {0} ^ 1 \ dfrac {x \ ln x} {x (1-x)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int_ {0} ^ 1 \ dfrac {e ^ {\ ln x} \ ln x} {x (1-e ^ {\ ln x})} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln x = u [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {x} \, dx = du [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int_ {b} ^ a \ dfrac {ue ^ u} {1-e ^ u} \, du [/ matemáticas]

[matemáticas] [u \ int \ dfrac {e ^ u} {1-e ^ u} \, du- \ iint \ dfrac {e ^ u} {1-e ^ u} \, du \, du] _ { b} ^ {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] [- u \ int \ dfrac {-e ^ u} {1-e ^ u} \, du + \ iint \ dfrac {-e ^ u} {1-e ^ u} \, du \, du] _ {b} ^ {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1-e ^ u = v [/ matemáticas]

[matemáticas] -e ^ u \, du = dv [/ matemáticas]

[matemáticas] [- u \ int \ dfrac {1} {v} \, dv + \ iint \ dfrac {1} {v} \, dv \, du] _ {b} ^ {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] [- u \ ln (1-e ^ u) + \ int \ ln (1-e ^ u) \, du] _ {b} ^ {a} [/ matemáticas]

a través de la serie taylor:

[matemáticas] [- u \ ln (1-e ^ u) + \ int \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {(- 1) ^ {r + 1} (- e ^ u ) ^ r} {r} \, du] _ {b} ^ {a} [/ math]

[matemáticas] [- u \ ln (1-e ^ u) + \ int \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {(- 1) ^ {r + 1} (- 1) ^ re ^ {ru}} {r} \, du] _ {b} ^ {a} [/ math]

[matemáticas] [- u \ ln (1-e ^ u) – \ int \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {e ^ {ru}} {r} \, du] _ { b} ^ {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] [- u \ ln (1-e ^ u) – \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {e ^ {ru}} {r ^ 2}] _ {b} ^ {a} [/ matemáticas]

[matemáticas] [- \ ln x \ ln (1-e ^ {\ ln x}) – \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {e ^ {r \ ln x}} {r ^ 2}] _ {0} ^ {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] [- \ ln x \ ln (1-x) – \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {x ^ r} {r ^ 2}] _ {0} ^ {1 }[/matemáticas]

[matemáticas] – \ ln 1 \ ln (1-1) – \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1 ^ r} {r ^ 2} [/ math]

[matemáticas] – \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {r ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

Answer 4

Dejar

[matemáticas] \ begin {align *} I & = \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ ln (1-x)} {x} \ mbox {} dx \ tag {1} \ end {align * }[/matemáticas]

Considera la sustitución

[matemáticas] e ^ {t} = 1-x \ implica \ dfrac {dx} {dt} = -e ^ {t} \ tag {2} [/ matemáticas]

Usando (2) en (1) tenemos

[matemáticas] \ begin {align *} I & = \ int_ {0} ^ {- \ infty} \ dfrac {\ ln e ^ {t}} {1-e ^ {t}} \ mbox {} \ left ( -e ^ {t} \ right) \ mbox {} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {0} \ dfrac {te ^ {t}} {1-e ^ {t}} \ mbox { } dt \ tag {3} \ end {align *} [/ math]

Ahora

[matemáticas] \ begin {align *} \ dfrac {e ^ {t}} {1-e ^ {t}} & = e ^ {t} + e ^ {2t} + e ^ {3t} + \ cdots \ \ & = \ sum \ limits_ {p = 1} ^ {\ infty} e ^ {pt} \ tag {4} \ end {align *} [/ math]

Usando (4) en (3) tenemos

[matemáticas] \ begin {align *} I & = \ sum \ limits_ {p = 1} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {0} te ^ {pt} \ mbox {} dt \\ & = \ sum \ limits_ {p = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {-1} {p ^ {2}} \\ & = – \ sum \ limits_ {p = 1} ^ {\ infty} \ dfrac { 1} {p ^ {2}} \\ & = – \ dfrac {\ pi ^ {2}} {6} \ tag {5} \ end {align *} [/ math]

En resumen

[matemáticas] \ begin {align *} \ int_ {0} ^ {1} \ dfrac {\ ln (1-x)} {x} \ mbox {} dx & = – \ dfrac {\ pi ^ {2}} {6} \ tag * {} \ end {align *} [/ math]

Tenga en cuenta que la suma de los recíprocos de los cuadrados se llama problema de Bessel y fue resuelta por Euler . Tal suma es un caso particular de la función Zeta de Riemann .

Answer 5

Solo observe que la integral definida de f (y) = 1 / (1-x * y) con respecto a y de 0 a 1 (x considerada como una constante), es exactamente -log (1-x) / x.
En consecuencia, la integral de la que está hablando no es más que la integral doble sobre el cuadrado de la unidad {(x, y) | 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1} de la función -1 / (1-x * y) (esta vez considerada como una función en dos variables).
Ahora aplique los hechos que dentro del cuadrado de la unidad, 1 / (1-x * y) es la suma de las series geométricas infinitas de potencias de x * y y que la integral doble sobre el cuadrado de la unidad de cada término (x * y) ^ n es trivialmente 1 / (n + 1) ^ 2.
Por lo tanto, integrar término por término esa serie lo llevaría a la famosa serie infinita de los recíprocos de todos los números naturales al cuadrado (problema de Basilea) que Euler ha demostrado que converge a ((pi) ^ 2) / 6.
Por lo tanto, la misma respuesta dada por todos los demás sigue a la vez.
De hecho, como se describe en el libro “Pruebas del libro” de M. Aigner y GMZiegler (páginas 43-44), la solución de Euler al problema de Basilea podría probarse mediante medidas “triviales” al manipular la integral doble sobre el cuadrado unitario de la función -1 / (1-x * y).

Answer 6

Usando la serie de Taylor, sabemos que esto es igual a [matemáticas] \ sum_ {1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora para calcular esta suma, usamos la expansión de Taylor de [math] sin (x) = xx ^ 3/3! + X ^ 5/5! \ cdots [/ math]

Dividiendo por [matemáticas] x [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] \ frac {sin (x)} {x} = 1-x ^ 2/3! + x ^ 4/5! \ cdots [/ matemáticas]

Ahora viene la parte interesante , ya que [math] sin [/ math] [math] (x [/ math] [math]) [/ math] puede expresarse como un polinomio infinito, también podemos fabricarlo con raíces siendo [ matemática] 0, \ pi, – \ pi, 2 \ pi, -2 \ pi \ cdots desde [/ math] [math] sin ([/ math] [math] x) = 0 [/ math] en estos lugares.

Por lo tanto

[matemática] Sin (x) = ax (1-x / \ pi) (1 + x / \ pi) (1-x / 2 \ pi) (1 + x / 2 \ pi) \ cdots [/ math]

donde [matemáticas] a [/ matemáticas] es algo constante

Dividiendo por [matemáticas] x [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] \ frac {sin (x)} {x} = a (1-x / \ pi) (1 + x / \ pi) (1-x / 2 \ pi) (1 + x / 2 \ pi) [/matemáticas]

Obtenemos el valor de [math] a [/ math] en 1 tomando el límite de [math] \ frac {sin (x)} {x} [/ math] ya que [math] x [/ math] tiende a 0 , y también usando la fórmula [matemáticas] (1-a) (1 + a) = 1-a ^ 2 [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] \ frac {sin (x)} {x} = (1-x ^ 2 / \ pi ^ 2) (1- {x ^ 2/4 \ pi} ^ 2) \ cdots [/ matemáticas]

Ahora comparamos los valores de los coeficientes de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] en

[matemáticas] \ frac {sin (x)} {x} = (1- (x / \ pi) ^ 2) (1- (x / 2 \ pi) ^ 2) \ cdots [/ matemáticas] y

[matemáticas] \ frac {sin (x)} {x} = 1-x ^ 2/3! + x ^ 4/4! \ cdots [/ matemáticas]

Obtenemos [math] -1/3! = – (1 / \ pi) ^ 2- (1/2 \ pi) ^ 2- (1/3 \ pi) ^ 2 \ cdots [/ math] que implica

[matemáticas] -1/3! = – 1 / \ pi ^ 2 (1/1 ^ 2 + 1/2 ^ 2 + 1/3 ^ 2 \ cdots) [/ matemáticas]

[matemáticas] -1/3! = – 1 / \ pi ^ 2 (\ sum_ {1} ^ {\ infty} 1 / n ^ 2) [/ matemáticas]

Tomando [matemáticas] – \ pi ^ 2 [/ matemáticas] lado izquierdo y usando el hecho [matemáticas] 3! = 1 (2) (3) = 6 [/ matemáticas]

Finalmente llegamos

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {1} \ frac {log (1-x)} {x} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

Sintiéndose tan bueno

-TG-

Answer 7

Answer 8

Por conveniencia, refleje la función en la línea [matemáticas] x = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_0 ^ 1 \ frac {\ ln (1-x)} {x} dx = \ int_1 ^ 0 \ frac {\ ln (x)} {1-x} (-dx) = \ int_0 ^ 1 \ frac {\ ln (x)} {1-x} dx [/ math]

Sustituya [matemáticas] \ displaystyle y = \ ln (x) \ implica x = e ^ y \ implica dx = e ^ y dy [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int _ {- \ infty} ^ 0 \ frac {y} {1-e ^ y} e ^ y dy = \ int _ {- \ infty} ^ 0 \ frac {y} {e ^ { -y} -1} dy = \ int_0 ^ {\ infty} y \ frac {1} {1-e ^ y} dy [/ math]

Usa la serie geométrica:

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ {\ infty} y \ left (- \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} e ^ {- ky} \ right) dy [/ math]

Cambiar suma e integral:

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (\ int_0 ^ {\ infty} -ye ^ {- ky} dy \ right) [/ math]

Y concluimos con una integración parcial:

[matemáticas] \ displaystyle = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ left [\ frac {(ky + 1) e ^ {- ky}} {k ^ 2} \ right] _0 ^ {\ infty} = – \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ 2} = – \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ math]

Answer 9

Esta integral está bien estudiada y tiene un nombre especial, se llama función de Spence, que es un caso especial de polilogaritmo, así que comience con:

[math] \ displaystyle \ operatorname {Li} _2 (z) = – \ int_0 ^ z {\ ln (1-x) \ over x} dx [/ math]

[math] \ displaystyle \ implica – \ operatorname {Li} _2 (z) = \ int_0 ^ z {\ ln (1-x) \ over x} dx [/ math]

y establezca [math] \ displaystyle z = 1 [/ math]:

[matemática] \ displaystyle – \ operatorname {Li} _2 (1) = \ int_0 ^ 1 {\ ln (1-x) \ over x} dx [/ math]

Ahora, los polilogaritmos se definen por:

[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {Li} _s (z) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty {z ^ k \ over k ^ s} [/ math]

entonces, usando [math] \ displaystyle s = 2 [/ math] y [math] \ displaystyle z = 1 [/ math] para obtener:

[math] \ displaystyle \ operatorname {Li} _2 (1) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty {1 ^ k \ over k ^ 2} [/ math]

El resumen sobre el RHS es solo el problema de Basilea en un aspecto diferente, que también está bien estudiado, por lo que:

[matemáticas] \ displaystyle \ operatorname {Li} _2 (1) = \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ implica – \ operatorname {Li} _2 (1) = – \ frac {\ pi ^ 2} {6 }[/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ por lo tanto \ int_0 ^ 1 {\ ln (1-x) \ over x} dx = – \ operatorname {Li} _2 (1) = – \ frac {\ pi ^ 2} {6} \ thinspace .[/matemáticas]