Cómo calcular [matemáticas] \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right) + \ cos \ left (\ frac {4 \ pi} {7} \ right) + \ cos \ left (\ frac {6 \ pi} {7} \ right) [/ math]

Answer 1

[matemáticas] \ require {color} \ definecolor {azul} {RGB} {3,169,244} \ definecolor {verde} {RGB} {76,175,80} \ definecolor {rojo} {RGB} {244,67,54} \ newcommand { \ k} [1] {\ color {black} {\ textsf {# 1}}} \ newcommand {\ b} [1] {\ color {blue} {\ messagesf {# 1}}} \ newcommand {\ g } [1] {\ color {green} {\ textsf {# 1}}} \ newcommand {\ r} [1] {\ color {red} {\ messagesf {# 1}}} \ Large \ bf \ g A \, \ rc \ bo \ gl \ ro \ br \ gf \ ru \ bl \, \ gp \ rr \ bo \ go \ r {f.} \, \, \, [/ math]

TL-DR Todos los cosenos se pueden expresar como una suma de los segmentos azul, rojo y verde dibujados anteriormente, de lo que se deduce que su suma es igual a [matemática] – \ frac12 [/ matemática]

---

Dentro del Tetradecágono regular, los tres cosenos son las proyecciones verticales de los nodos en [matemáticas] \ {2 \ pi / 7,4 \ pi / 7,6 \ pi / 7 \} [/ matemáticas] sobre el diámetro horizontal.

Este diámetro ([matemática] \ textf {D} = 2 [/ matemática]) se divide en doce segmentos más pequeños, dibujando algunas líneas adicionales de los otros nodos en el semicírculo superior, ubicado en [matemática] \ {1 \ pi / 7,3 \ pi / 7,5 \ pi / 7 \} [/ matemáticas].

El ángulo entre todas estas verticales (cercanas) es siempre el mismo, porque todas las longitudes de acordes son similares en un polígono regular. Por lo tanto, el diámetro [math] \ textf {D} [/ math] consta de solo tres tipos de segmentos [math] \ {\ bb, \ rr, \ gg \} [/ math]:

[matemática] \ qquad \ large \ textf {D} = \ b {2b} \ k + \ r {2r} \ k + \ g {2g} \ k {+} \ g {2g} \ k + \ r { 2r} \ k + \ b {2b} \ k {= 2} [/ matemáticas]

De lo cual se deduce que:

[matemáticas] \ qquad \ large \ b {b} \ k + \ r {r} \ k + \ g {g} \ k {=} \ frac12 [/ matemáticas]

---

De la imagen, la suma de los tres cosenos se puede expresar fácilmente en estos tres tipos de segmentos:

[matemáticas] \ qquad \ large \ begin {align} \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {7} \ right) & = \ g {2g} \ k {+} \ rr \\ \ cos \ left (\ frac {4 \ pi} {7} \ right) & = \ k {-} \ gg \\ \ cos \ left (\ frac {6 \ pi} {7} \ right) & = – \ g {2g } \ k {-} \ r {2r} \ k {-} \ bb \\ \ hline \\ \ sum_ {k = 1} ^ 3 \ cos \ left (\ frac {2k \ pi} {7} \ right ) & = \ k {-} \ gg \ k {-} \ r {r} \ k {-} \ b {b} \ k {=} – \ frac12 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ blacksquare [/ matemáticas]

---

Diseño de ilustración: Gilles Castel

Answer 2

Para los puntos en el círculo unitario en el dominio complejo, que forman un n-gon regular, la igualdad [matemática] \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {n-1} e ^ {\ frac {2k} ni \ pi} = 0 [/ math] se mantiene con parte real

[matemática] \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {n-1} \ cos \ left (\ frac {2k} n \ pi \ right) = 1 + \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n- 1} \ cos \ left (\ frac {2k} n \ pi \ right) = 0 [/ math].

Para [matemáticas] n = 7 [/ matemáticas] esto se lee

[matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {6} \ cos \ left (\ frac {2k} 7 \ ​​pi \ right) = – 1 \; \; (1) [/ math]

Como el coseno es una función par con punto [matemática] 2 \ pi [/ matemática] uno obtiene las igualdades

[matemáticas] \ cos \ left (\ frac 2 7 \ pi \ right) = \ cos \ left (- \ frac 2 7 \ pi \ right) = \ cos \ left (\ frac {12} 7 \ ​​pi \ right) \; \; (2.1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos \ left (\ frac 4 7 \ pi \ right) = \ cos \ left (- \ frac 4 7 \ pi \ right) = \ cos \ left (\ frac {10} 7 \ ​​pi \ right) \; \; (2.2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos \ left (\ frac {6} 7 \ ​​pi \ right) = \ cos \ left (- \ frac {6} 7 \ ​​pi \ right) = \ cos \ left (\ frac {8} 7 \ pi \ right) \; \; (2.3) [/ math]

La ecuación (1) (con la ayuda de las ecuaciones (2.1–2.3)) ahora se puede escribir como

[matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {6} \ cos \ left (\ frac {2k} 7 \ ​​pi \ right) = 2 \ left (\ cos \ left (\ frac {2} 7 \ ​​pi \ right) + \ cos \ left (\ frac {4} 7 \ ​​pi \ right) + \ cos \ left (\ frac {6} 7 \ ​​pi \ right) \ right) = -1 [/ math]

De esto sigue

[matemáticas] \ cos \ left (\ frac {2} 7 \ ​​pi \ right) + \ cos \ left (\ frac {4} 7 \ ​​pi \ right) + \ cos \ left (\ frac {6} 7 \ ​​pi \ right) = – \ frac 1 2 [/ math]

Es fácil generalizar esto a

[matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} \ cos \ left (\ frac {2k} {2n + 1} \ pi \ right) = – \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n } \ cos \ left (\ frac {2k-1} {2n + 1} \ pi \ right) = – \ frac 1 2 [/ math]

Answer 3

Multiplica y divide por:
Obtenemos,
Convertir de producto a suma
Por lo tanto,