Por lo tanto, estamos buscando el producto [matemáticas] P_7 = \ prod_ {k = 1} ^ {(7-1) / 2} {\ cos (\ frac {2k \ pi} {7})} [/ matemáticas] de Los factores representados en la imagen de la izquierda. El signo de [math] P_7 [/ math] está determinado por el número de cosenos a la izquierda del eje [math] y [/ math], entonces:
[matemáticas] \ text {sign} (P_7) = (-1) ^ {\ text {round} (7/4)} = +1 [/ math]
El valor absoluto es solo el producto de las bases de los tres triángulos:
[matemáticas] \ displaystyle | P_7 | = \ prod_ {k = 1} ^ {(7-1) / 2} {| \ cos (\ frac {2k \ pi} {7}) |} [/ math]
En la imagen de la derecha, he rotado las hipotenusas de los triángulos hacia el intervalo x [-1, 0], de modo que todas estas bases comienzan en el origen y terminan en un círculo con radio [matemáticas] \ frac12 [/ matemáticas ]
Si también incluimos los cosenos del semicírculo inferior en el producto, obtenemos un patrón agradable en el círculo pequeño:
[matemáticas] \ displaystyle | P_7 | = \ sqrt {\ prod_ {k = 1} ^ {7-1} {\ cos (\ frac {2k \ pi} {7})}} [/ math]
Este patrón es mejor visible cuando representamos esto para [math] P_ {17} [/ math]:
[matemáticas] P_ {17} = \ prod_ {k = 1} ^ {(17-1) / 2} {\ cos (\ frac {2k \ pi} {17})} [/ matemáticas]
Al escalar estas longitudes con un factor dos, se pueden representar en un polígono regular [matemático] 14 [/ matemático] con radio unitario, como distancias desde el extremo derecho a sus vecinos directos ([matemático] m = \ pm1 [/ matemática]), sus vecinos de tercer orden ([matemática] m = \ pm3 [/ matemática]) y sus vecinos de quinto orden ([matemática] m = \ pm5 [/ matemática]):
[matemáticas] \ displaystyle | P_7 | = \ frac {1} {2 ^ 3} \ sqrt {\ underset {m = \ pm \ {1,3,5 \}} {\ prod} \ sqrt {(1- \ cos (\ frac {2m \ pi} {14})) ^ 2 + \ sin ^ 2 (\ frac {2m \ pi} {14})}} [/ math]
Mostraré que el producto debajo de la raíz en el lado derecho siempre es igual a 1 (también para [matemática] P_ {17} [/ matemática] o cualquier otra [matemática] P_ {2k + 1} [/ matemática]) . Usaré una hermosa propiedad de polígonos regulares con radio unitario:
Propiedad poligonal:
Para un nodo dado en un polígono regular [matemático] n – [/ matemático] con radio unitario, el producto de sus distancias a los otros nodos siempre es igual a [matemático] n: [/ matemático]
(prueba dada al final de esta respuesta)
Ahora los factores de nuestro producto deseado son los factores del polígono [matemático] 14 [/ matemático], con los factores del polígono [matemático] 7 [/ matemático] y el [matemático] 2 [/ matemático] – polígono eliminado:
Y por lo tanto:
[matemáticas] P_7 = \ prod_ {k = 1} ^ 3 {\ cos (\ frac {2k \ pi} {7})} = \ frac {1} {2 ^ 3} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
La propiedad del polígono:
Ilustración para un hexágono:
La propiedad del polígono se puede verificar fácilmente para el hexágono, ya que la diagonal roja más larga tiene longitud 2, las líneas más cortas tienen longitud 1, y las otras dos tienen longitud \ [matemáticas] sqrt {(\ frac12 \ sqrt3) ^ 2 + 1.5 ^ 2} = \ sqrt {3} [/ math], por lo que el producto total es igual a:
[matemáticas] \ color {rojo} {\ Pi} = 1 \ veces \ sqrt {3} \ veces2 \ veces \ sqrt {3} \ veces {1} = \ color {rojo} {6} [/ matemáticas]
Prueba general:
El polinomio [matemático] x ^ n-1 [/ matemático] se puede reescribir de dos maneras familiares:
- [matemáticas] x ^ n-1 = \ prod_ {k = 0} ^ {n-1} (x – {\ xi} ^ k) [/ matemáticas]
- [matemáticas] x ^ n-1 = (x-1) \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} x ^ k [/ matemáticas]
Al igualarlos y dividirlos entre [math] (x-1) [/ math], se obtiene:
[matemáticas] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} (x – {\ xi} ^ k) = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} x ^ k [/ matemáticas]
Para [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas], obtenemos:
[matemáticas] \ prod_ {k = 1} ^ {n-1} (1 – {\ xi} ^ k) = n [/ matemáticas]
(ilustraciones de Gilles Castel)
