¿Cuál es el significado de variedad no homogénea? Los componentes conectados de los colectores de Hausdorff tienen grupos de difeomorfismo transitivo, solo hágalo primero en una bola, para puntos cercanos (convirtiéndolo en la identidad cerca del límite de la bola) y luego componga un número finito de ellos a lo largo del camino compacto que une dos puntos. ¿Tal vez estás pensando en estructuras pseudo-riemannianas? Pero tales estructuras no son relevantes para comprender el significado del álgebra lineal en múltiples.
Así que déjame adivinar qué quieres decir con álgebra lineal en una variedad. Probablemente esté pensando en campos vectoriales, quizás tensores o formas diferenciales.
El significado geométrico de los campos vectoriales en una variedad compacta es que cada subgrupo de parámetros del grupo difeomorfismo tiene un campo vectorial que se relaciona con él de la forma en que una ruta tiene un vector tangente. En una variedad no compacta, la situación es más sutil: los difeomorfismos solo se definen localmente, en general.
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