Cómo resolver [matemáticas] (x ^ 3 + 2x) ^ {\ frac {1} {5}} = (x ^ 5 – 2x) ^ {\ frac {1} {3}} [/ matemáticas]

Answer 1

Solo puedo hacer la primera mitad de esto, ya que debería estar haciendo HW, pero primero multiplico 1/5 y 1/3 por 15 para que terminemos con exponentes enteros. Ahora, debería obtener (x ^ 3 + 2x) ^ 3 = (x ^ 5 – 2x) ^ 5. Luego, use las Filas 3 y 5 del Triángulo de Pascal para los coeficientes que dependen del grado de elevación del binomio. (Solo en caso de que hayas olvidado el Triángulo de Pascal:
1 fila 0
1 1 Fila 1
1 2 1 Fila 2
1 3 3 1 Fila 3
1 4 6 4 1 Fila 4
1 5 10 10 5 1 Fila 5
y así sucesivamente

Entonces, por ejemplo, (a + b) ^ 5 sería a ^ 5 + 5a ^ 4b + 10a ^ 3b ^ 2 + 10a ^ 2b ^ 3 + 5ab ^ 4 + b ^ 5. De esto, obtenemos x ^ 9 + 6x ^ 7 + 12x ^ 5 + 8x ^ 3 = x ^ 25 – 10x ^ 21 + 40x ^ 17 – 80x ^ 13 + 80x ^ 9 – 32x ^ 5. Eso se simplifica a 0 = x ^ 25 – 10x ^ 21 + 40x ^ 17 – 30x ^ 13 + 79x ^ 9 – 6x ^ 7 – 44x ^ 5 – 8x ^ 3. Divida las x adicionales, de modo que la ecuación se convierta en x ^ 22 – 10x ^ 18 + 40x ^ 14 – 30x ^ 10 + 79x ^ 6 – 6x ^ 4 – 44x ^ 2 – 8… .. Según Excel, sin embargo, las respuestas son 0, -root2 y + root2….

Answer 2

Agregando a las respuestas ya dadas, las soluciones reales de la ecuación dada se pueden encontrar con la ayuda de Mathematica escribiendo:

Reducir [(x ^ 3 + 2 x) ^ (1/5) == (x ^ 5 – 2 x) ^ (1/3), x, Reales]

El resultado o salida es:

x == 0 || x == Sqrt [2]

lo que significa que solo hay dos soluciones reales:

[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ sqrt {2} [/ matemáticas]

El uso del símbolo incorporado de Mathematica Solve [] produce también dos soluciones reales.

Se pueden obtener los mismos resultados utilizando la función incorporada de Mathematica FindInstance []:

FindInstance [(x ^ 3 + 2 x) ^ (1/5) == (x ^ 5 – 2 x) ^ (1/3), x, Reals, 4]

Escribimos y declaramos que queríamos 4 instancias de soluciones reales, pero el resultado solo dio dos soluciones reales:

{{x -> 0}, {x -> Sqrt [2]}}

Para verificar si la solución real [matemática] x = – \ sqrt {2} [/ matemática] es válida o no, las dos curvas se pueden trazar y mostrar su intersección escribiendo:

Trazar [{(x ^ 3 + 2 x) ^ (1/5), (x ^ 5 – 2 x) ^ (1/3)}, {x, -5, 5},
PlotTheme -> “Detallado”, ImageSize -> Large, PlotRange -> All]

Se obtiene la siguiente representación gráfica (haga clic en la imagen a continuación para ampliarla):

Se puede ver que las dos curvas se encuentran o se cruzan en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ sqrt {2} [/ matemáticas], pero no hay intersección en [matemáticas] x = – \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta también que al calcular el valor de la expresión

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt [5] {x ^ 3 + 2 x} – \ sqrt [3] {x ^ 5 – 2 x} [/ matemáticas]

para [math] x = – \ sqrt {2} [/ math], se obtiene el siguiente resultado de valor complejo:

[matemáticas] \ displaystyle – \ sqrt [5] {-1} \ sqrt {2} \ left ((-1) ^ {2/15} – 1 \ right) \ aprox 0.43701602444882107 – 0.39349099583668219 i [/ math]

Esto se puede verificar con Mathematica, así como con la ayuda de Wolfram Alpha.

Además, Mathematica (usando FindInstance []) y Wolfram Alpha muestran que, además de las dos soluciones reales, hay cuatro soluciones valiosas complejas:

[matemáticas] \ displaystyle x \ aprox 0.033281501249070 \ pm 1.256584694825832 i [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ displaystyle x \ aprox – 1.318230915180862 \ pm 0.210932393287589 i [/ matemáticas]

Todas las raíces se pueden representar en el plano complejo (hecho con la ayuda de Wolfram Alpha):

Answer 3

¿Dónde estoy? ¿Es un club de enemigos de la simetría?

Escribir:
[matemáticas] y = (x ^ 3 + 2x) ^ {\ frac {1} {5}} = (x ^ 5 -2x) ^ {\ frac {1} {3}} [/ matemáticas]

Es decir, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones

[matemáticas]
\ begin {cases}
y ^ 5 = x ^ 3 + 2x \\
y ^ 3 = x ^ 5 -2x \\
\ end {casos}
[/matemáticas]

Ahora observe la simetría, ambas ecuaciones coinciden en la línea [matemáticas] x = y [/ matemáticas].

Resolvemos [matemática] x ^ 5 = x ^ 3 + 2x [/ matemática], se ve casi como una ecuación bicuadrática.

[matemáticas] x ^ 5 -x ^ 3 -2x = x (x ^ 2-2) (x ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Tiene soluciones reales [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ pm \ sqrt {2}. [/ Matemáticas]

Ahora busque soluciones fuera de la línea [matemáticas] x = y [/ matemáticas].

Sumando dos ecuaciones, se obtiene:

[matemáticas] y ^ 5 + y ^ 3 = x ^ 5 + x ^ 3 [/ matemáticas]

El hecho de que la función [math] g: \ mathbf {R} \ to \ mathbf {R} [/ math], [math] g (t) = t ^ 5 + t ^ 3 [/ math] es monótono implica que [math] x = y [/ math] es el único lugar para soluciones reales.

Es decir, las soluciones son: [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = \ pm \ sqrt {2}. [/ Matemáticas]

Si desea encontrar soluciones complejas, puede conectar las cosas en Wolfram Alpha, pero eso sin mí.

Answer 4

¿Por qué, al pegarlo en Wolfram Alpha, por supuesto?
(x ^ 3 + 2x) ^ (1/5) = (x ^ 5 – 2x) ^ (1/3) – Wolfram | Alpha

A continuación, supongo que está buscando soluciones en los reales: hay más soluciones en números complejos, pero no son agradables.

Si tiene que resolverlo en papel, el primer paso es obviamente elevar ambos lados a la 15ª potencia, obteniendo

[matemáticas] (x ^ 3 + 2x) ^ 3 = (x ^ 5-2x) ^ 5 [/ matemáticas].

Ahora podemos deshacernos de la solución obvia [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] para simplificar esta ecuación a

[matemáticas] (x ^ 2 + 2) ^ 3 = x ^ 2 (x ^ 4-2) ^ 5 [/ matemáticas].

Todas las apariciones de [math] x [/ math] se elevan a una potencia par, por lo que podemos hacer la sustitución [math] t = x ^ 2 [/ math] y resolver t no negativo . Nueva ecuación:

[matemáticas] (t + 2) ^ 3 = t (t ^ 2-2) ^ 5 [/ matemáticas]

Esto sigue siendo un polinomio de grado 11, que es muchísimo, pero una cosa que podemos hacer es buscar raíces racionales. Como el término constante es -8, las únicas raíces racionales posibles son [matemáticas] \ pm 1, \ pm 2, \ pm 4, \ pm 8 [/ matemáticas]. Al verificar cada uno, encontramos que [math] t = -1 [/ math] y [math] t = 2 [/ math] son ​​de hecho raíces. (El primero de ellos no produce ninguna solución real a la ecuación original, el segundo nos da [math] x = \ sqrt {2} [/ math] y [math] x = – \ sqrt {2} [/ math ].)
Después de dividir entre [matemáticas] (t + 1) (t-2) [/ matemáticas], obtenemos la siguiente ecuación:

[matemáticas] t ^ 9 + t ^ 8 – 7 t ^ 7 – 5 t ^ 6 + 21 t ^ 5 + 11 t ^ 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] – 27 t ^ 3 – 5 t ^ 2 + 20 t + 4 = 0 [/ matemáticas]

Esto sigue siendo muy feo, pero se puede mostrar que el lado izquierdo es positivo para todos [math] t \ geq 0 [/ math], lo que significa que no hay más soluciones reales para la ecuación original.

Tenga en cuenta que la validez de la solución [math] x = – \ sqrt {2} [/ math] es discutible; depende de si su definición de [math] \ sqrt [3] {\ cdot} [/ math] y [ math] \ sqrt [5] {\ cdot} [/ math] permite argumentos reales negativos.

Answer 5

Usando el viejo Excel (en lugar de Wolfram) hay tres soluciones reales, dadas en total por Michal y Lung. Son + 2 ^ .5, -2 ^ .5 y 0. Creo que el – (sq rt 2) es una solución real completamente válida.

Lo siento, no puedo hacer frente a la notación matemática en QUORA.