¿Cuál es el coeficiente de [matemáticas] x ^ {29} [/ matemáticas] en el polinomio [matemáticas] \ left (x- \ frac {1} {1 \ cdot 3} \ right) \ cdot \ left (x – \ frac {2} {1 \ cdot 3 \ cdot 5} \ right) \ cdot [/ math] [math] \ cdot \ left (x- \ frac {3} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7} \ derecha) \ cdot \ dots \ cdot \ left (x- \ frac {30} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot 61} \ right) [/ math]?

Answer 1

El polinomio

[matemáticas] (xa) (xb) \ cdots (xz) [/ matemáticas]

Se expande como

[matemáticas] x ^ {\ alpha} – [/ matemáticas] [matemáticas] a_ {1} x ^ {\ alpha-1} + a_ {2} x ^ {\ alpha-2} – \ cdots-a_ {31} x ^ {\ alpha- \ alpha} [/ math]

Dónde

[matemática] \ alpha = [/ matemática] total no. De paréntesis

[matemáticas] a_ {1} = a + b + c + \ cdots + z [/ matemáticas]

[matemáticas] a_ {2} = (ab + ac + ad \ cdots + az) + (bc + bd + be + \ cdots + bz) + (cd + ce + cf + \ cdots + cz) + \ cdots + (yz) [ /matemáticas]

[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]

[matemáticas] a_ {31} = a \ cdot b \ cdot c \ cdots z [/ math]

Tenemos que encontrar el coeficiente de [matemáticas] x ^ {29} [/ matemáticas]

la [matemática] \ alfa [/ matemática] para la ecuación anterior es 30

Por lo tanto, [math] x ^ {29} [/ math] es el segundo término cuyo coeficiente es [math] a_ {1} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto a_ {1} = \ left (\ dfrac {1} {1 \ cdot 3} + \ dfrac {2} {1 \ cdot 3 \ cdot 5} + \ cdots + \ dfrac {r} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2r + 1)} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto a_ {1} = \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {30} \ dfrac {r} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2r + 1)} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto a_ {1} = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {30} \ dfrac {(2r + 1) -1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots (2r + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto a_ {1} = \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ sum_ {r = 1} ^ {30} \ left [\ left (\ dfrac {1} {1 \ cdot 3 \ cdots ( 2r-1)} \ right) – \ left (\ dfrac {1} {1 \ cdot 3 \ cdots (2r + 1)} \ right) \ right] [/ math]

Es de la forma

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ (t_ {r} -t_ {r + 1}) [/ matemáticas]

Ahora esto se convirtió en una serie telescópica .

Por lo tanto

[matemáticas] a_ {1} = \ dfrac {1} {2} (t_ {1} -t_ {30}) [/ matemáticas]

Por lo tanto, el ans final es

[matemáticas] \ boxed {-a_ {1} = – \ dfrac {1} {2} \ left (1- \ dfrac {1} {1 \ cdot 3 \ cdots 61} \ right)} [/ math]

Espero que sea correcto.

Answer 2

Ya que
[matemáticas] \ frac {k} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot (2k + 1)} = \ frac12 \ cdot \ frac {(2k + 1) -1} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot (2k + 1)} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac12 \ cdot \ left (\ frac {1} {1 \ cdot \ dots \ cdot (2k-1)} – \ frac {1} {1 \ cdot \ dots \ cdot (2k + 1)} \ right) [/ math]
obtenemos que el coeficiente de [matemáticas] x ^ {29} [/ matemáticas] es igual a
[matemáticas] – \ frac {1} {1 \ cdot 3} – \ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5} – \ dots – \ frac {30} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot 61} [/ matemáticas]
[matemáticas] = – \ frac12 \ cdot \ left (1 – \ frac {1} {1 \ cdot 3} + \ frac {1} {1 \ cdot 3} – \ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5} \ right. [/ Math]
[matemáticas] \ izquierda. + \ dots + \ frac {1} {1 \ cdot \ dots \ cdot 59} – \ frac {1} {1 \ cdot \ dots \ cdot 61} \ right) [/ math]
[matemáticas] = – \ frac12 \ cdot \ left (1 – \ frac {1} {1 \ cdot \ dots \ cdot 61} \ right). [/ math]