Cómo factorizar [matemáticas] 2x ^ 2 + 2y ^ 2 – 5xy – 2x + 7y – 4 [/ matemáticas]

Answer 1

Aquí hay una técnica iterativa de nivel secundario, que (a diferencia de las técnicas de otras respuestas)

• es fácil de programar (no usa magia :),
• funciona casi literalmente para más de dos variables y polinomios de grado superior,
• requiere solo una cantidad lineal de memoria (sin matrices),
• se utiliza para optimizar circuitos digitales en la práctica.

Requiere enteros, o al menos coeficientes racionales.

Elija una de las variables, diga y, y asígnele un valor coprime con todos los coeficientes, como 3. Esto simplifica el polinomio a [matemática] 2x ^ 2 -17x + 35 [/ matemática].
Dado que bajo esta sustitución, los factores del polinomio original deben transformarse en factores del polinomio univariado simplificado, podemos factorizar primero el polinomio simplificado, encontrando las raíces [matemáticas] 2x ^ 2 – 17x + 35 = (2x – 7) (x – 5) [/ matemáticas]
En un ejemplo más complicado (digamos 5 variables para comenzar), es posible que necesite técnicas numéricas para encontrar las raíces.

Ahora viene la parte difícil. Necesitamos expandir las constantes en expresiones en términos de [matemática] y = 3 [/ matemática] (más o menos, en base y). Entre varias expansiones posibles
[matemáticas] 7 = 2y + 1, 5 = 2y-1 [/ matemáticas],
[matemáticas] 7 = 2y + 1, 5 = y + 2 [/ matemáticas],
[matemáticas] 7 = y + 4, 5 = y + 2 [/ matemáticas],
[matemáticas] 7 = y + 4, 5 = 2y-1 [/ matemáticas].
necesita uno donde las constantes se multiplican por 4, ya que esa es la constante en el polinomio original. La última expansión lleva a la respuesta correcta.
[matemáticas] (2x-7) (x-5) = (2x – y – 4) (x -2 y + 1) [/ matemáticas]
que debe ser confirmado por cálculo directo. Si utiliza un valor desafortunado (demasiado pequeño o no coprimo con coeficientes), puede tener problemas y luego probar un valor mayor. Valores suficientemente grandes siempre funcionan.

También puede comenzar con [math] y = 9 [/ math] ya que es mayor que los coeficientes existentes y todavía coprime. Entonces obtienes
[matemática] 2x ^ 2 + 162 – 45x – 2x + 63 – 4 [/ matemática] = [matemática] 2x ^ 2 -47x + 221 = (2x – 13) (x – 17) [/ matemática].
Ahora expanda 13 y 17 con [math] y = 9 [/ math], de modo que las constantes se multipliquen a 4: [math] (2x – y – 4) (x – 2y +1) [/ math].

Answer 2

Para este tipo de problema, generalmente hago lo mismo que Bragadeesh. Pero hay algunos casos en que la fórmula cuadrática parece extremadamente complicada. Entonces, a veces uso el método de fuerza bruta, que puede tomar mucho tiempo pero solo requiere el nivel de escuela intermedia. Sin embargo, funciona para la mayoría de los ejercicios simples “en clase” como este, cuando nos sentimos desesperanzados.

Básicamente, adivinaremos la forma factorizada. Dado que nuestra expresión contiene [matemáticas] x ^ 2, y ^ 2, xy, x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas], podemos ignorar el caso de [matemáticas] (a * x ^ 2 + b ) (c * y ^ 2 + d) [/ math], que no contiene [math] xy [/ math].

Por lo tanto, nos centraremos en la forma de [math] (ax + by + c) (dx + ey + f) [/ math].

Mire el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] a * d = 2 [/ matemáticas]. Podemos suponer [matemáticas] a = 2, d = 1 [/ matemáticas] sin perder la generalidad, ya que [matemáticas] (a, b, c) [/ matemáticas] y [matemáticas] (d, e, f) [/ matemáticas] son ​​tratados por igual. Si son negativos, podemos voltear los signos de los 6 coeficientes, entonces [matemática] a [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] pueden ser positivos nuevamente.

[matemáticas] 2x ^ 2 + 2y ^ 2 – 5xy – 2x + 7y – 4 [/ matemáticas] = [matemáticas] (2 * x + b * y + c) (x + e * y + f) [/ matemáticas]

Ahora comparamos los coeficientes:
+ Para [matemáticas] x ^ 2 => 2 = 2 * 1 [/ matemáticas] (hecho) [1]
+ Para [matemáticas] y ^ 2 => 2 = b * e [/ matemáticas] [2]
+ Para [matemáticas] xy => -5 = b + 2e [/ matemáticas] [3]
+ Para [matemáticas] x => -2 = c + 2f [/ matemáticas] [4]
+ Para [matemáticas] y => 7 = ce + bf [/ matemáticas] [5]
+ Para el último coeficiente: [matemáticas] -4 = cf [/ matemáticas] [6]

Mira loco, ¿no? Pero como no tenemos otra solución (como supuse), tenemos que seguir este camino hasta encontrar el resultado final. Sin embargo, este método no nos prohíbe hacer conjeturas. Cuantas más suposiciones hagas, más rápido podrás resolverlo.

El par de [2] y [3] es donde podemos adivinar. Como tienen el producto de 2, (b, e) puede ser (1, 2), (2, 1), (-1, -2) o (-2, -1). Solo (-1, -2) cabe en [3]. Por lo tanto, [matemáticas] b = -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] e = -2 [/ matemáticas].

Ahora [5] se convierte en [matemáticas] 7 = -2c – f [/ matemáticas],
podemos multiplicarlo por 2 para tener [matemáticas] 14 = -4c – 2f [/ matemáticas] [7]

Agregue [4] y [7] juntos, lado izquierdo con lado izquierdo y lado derecho con lado derecho, tenemos
[matemáticas] 12 = -3c [/ matemáticas]
[matemáticas] => c = -4 [/ matemáticas]
Reemplace c con -4 en [4], podemos encontrar f = 1

En resumen, tenemos (a, b, c, d, e, f) = (2, -1, -4, 1, -2, 1)

Lo que significa [matemáticas] 2x ^ 2 + 2y ^ 2 – 5xy – 2x + 7y – 4 [/ matemáticas] = [matemáticas] (2 * x – y – 4) (x – 2 * y + 1) [/ matemáticas]

p / s: Espero que nunca tengas que usar este método.

Answer 3

[matemáticas] \ text {Cómo encontrar factores de} 2 {x} ^ {2} +2 {y} ^ {2} -5 xy -2 x +7 y -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Factores de} 2 {x} ^ {2} +2 {y} ^ {2} -5 xy = {\ left (2 x -y \ right)} {\ left (x -2 y \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ text {Factores de} 2 {y} ^ {2} +7 y -4 = {\ left (y +4 \ right)} {\ left (2 y -1 \ right)} = {\ left (-y -4 \ right)} {\ left (-2 y +1 \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ text {Combinando ambos, obtenemos:} {\ left (2 x -y -4 \ right)} {\ left (x -2 y +1 \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ text {Puede multiplicar y verificar si la respuesta es correcta o no. }[/matemáticas]

Answer 4

Tenga en cuenta que la solución tiene la forma (ax ^ 2 + bx + c) (dx ^ 2 + ex + f)
Expande y equipara términos en la ecuación original,
P.ej
-4 = cf

Técnica

Primero equipare los términos en x ^ 2, xy e y ^ 2
Luego equipare los términos en y ^ 2, y y constante
Luego equipare los términos en x ^ 2, x y constante.

Puede encontrar más de una solución en cada punto, consérvelas todas y pruebe cada S que vaya.

De lo contrario, tiene una matriz de 6 × 6 para invertir

Answer 5

Echó un vistazo a la expresión. Si intentamos poner [math] x = y = 1 [/ math], la expresión va a [math] 0 [/ math]. Por lo tanto, estamos seguros de que [math] (x-1) [/ math] y [math] (y-1) [/ math] son ​​factores de la expresión. Por lo tanto, el producto [math] (x-1) (y-1) [/ math] también es un factor de la expresión.

Verificó con Mathematica para encontrar que [math] (x-1) (y-1) [/ math] no reduce la expresión. Ahora, solo tengo una forma de hacerlo

[matemáticas] 2x ^ 2- (5y + 2) x + (2y ^ 2 + 7y-4) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] 2x ^ 2- (5y + 2) x + (2y ^ 2 + 8y-y-4) = 0 [/ matemática]
[matemáticas] 2x ^ 2- (5y + 2) x + (2y-1) (y + 4) [/ matemáticas]

Ahora, tengo que hacer [matemáticas] (5y + 2) [/ matemáticas] con [matemáticas] (2y-1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (y + 4) [/ matemáticas]. Soy afortunado de tener la convención [matemática] – – = + [/ matemática], así que no tengo que preocuparme por los signos.

Necesito hacer [matemáticas] 5y [/ matemáticas], tengo dos opciones, ya sea [matemáticas] 2 (2y-1) [/ matemáticas] o [matemáticas] 4 (y + 4) [/ matemáticas]. Comprobando los términos constantes, encuentro que [math] 2 (2y-1) [/ math] es el camino a seguir. Continuemos…

[matemática] 2x ^ 2 – [2 (2y-1) + (y + 4)] x + (2y-1) (y + 4) [/ matemática]
[matemáticas] 2x ^ 2 – 2 (2y-1) x – (y + 4) x + (2y-1) (y + 4) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2x (x- (2y-1)) – (y + 4) (x- (2y-1)) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2x (x-2y + 1) – (y + 4) (x-2y + 1) [/ matemáticas]
Casi hecho, factorizar [matemáticas] (x-2y + 1) [/ matemáticas] nos da el resultado final
[matemáticas] (x-2y + 1) (2x-y-4) [/ matemáticas]

Al resolver las raíces, simplemente establecemos los factores iguales a 0, y obtenemos [matemática] x = 3, y = 2 [/ matemática], lo que respalda la afirmación de Natalia Nezvanova de que la simétrica no es una necesidad en todos y cada uno de los factores.

Saludos 🙂

Answer 6

p (x, y) = 2x ^ 2 + 2y ^ 2−5xy − 2x + 7y − 4 = (2) x ^ 2 – (5y + 2) x + (2y ^ 2 + 7y-4) = 0

Resolver como ecuación cuadrática

Det (p (x, y)) = (5y + 2) ^ 2 – 4 2 (2y ^ 2 + 7y-4) = 9y ^ 2-36y + 36 = 3 ^ 2 (y-2) ^ 2

x1 = (5y + 2 + 3y-6) / 4 = 2y-1

x2 = (5y + 2 – (3y-6)) / 4 = y / 2 + 2

a (x-2y + 1) (xy / 2-2) = 2x ^ 2 + 2y ^ 2−5xy − 2x + 7y − 4

una necesidad de ser 2 para ser igual, entonces

2 (x-2y + 1) (xy / 2-2) = (x-2y + 1) (2x-y-4)

Answer 7

Lo que dice Bragadeesh, pero él dice [Alternativamente, también puedes usar una fórmula cuadrática para encontrar factores] , y yo digo que no alternativamente, pero esa es la forma más sencilla de hacerlo. Escriba su fórmula cuadrática, sustituya a, b, c y simplifique.

Answer 8

David Seed, quieres decir:
Tenga en cuenta que la solución tiene la forma (ax + by + c) (dx + ey + f)
Expande y equipara términos en la ecuación original,
P.ej
ad = 2, be = 2, (ae + bd) = -5, af + cd = -2, fb + ce = 7, -4 = cf.