Cuando [math] (ax + b) ^ n [/ math] se expande, ¿cómo puede probar que siempre habrá términos [math] n + 1 [/ math]?

Answer 1

Respuesta corta: Los “términos” de los que hablas están organizados por potencias de x, y hay n + 1 potencias de x en esta expansión: 0 a n.

Respuesta larga: De hecho, hay 2 ^ n términos diferentes en la expansión, pero estos se dividen en n + 1 grupos, uno para cada potencia de x de 0 a n, por lo tanto, n + 1 “términos”.

Cuando multiplica (ax + b) ^ n, cada término consiste en un producto de n elementos diferentes. Cada artículo es hacha o b. Por ejemplo, si eliges ax cada vez, obtienes el término (ax) ^ n, mientras que si eliges b cada vez, obtienes b ^ n. Solo hay una manera de hacer cada una de estas elecciones. Sin embargo, si elige la mitad del hacha y la mitad de la b, obtendrá a ^ (n / 2) b ^ (n / 2) x ^ (n / 2), pero hay muchas formas de hacerlo, por lo que este término se cuenta veces. Si agrupa todos estos, obtendrá (n elija n / 2) de estos términos agrupados para dar: (n elija n / 2) a ^ (n / 2) b ^ (n / 2) x ^ (n / 2)

Del mismo modo, hay (n elegir 2) términos de la forma (ax) ^ 2 * b ^ (n-2), etc.

De hecho, esta idea es la base del teorema binomial de Newton para las potencias enteras.

Answer 2

Es una consecuencia inmediata del teorema binomial. Si quieres saber cómo probar el teorema binomial:

Teorema binomial, prueba por inducción

O bien, puede probar su resultado inmediatamente por inducción …