No, porque está mal.
La expansión de Taylor para lo exponencial es
[matemáticas] e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas].
El tuyo es un caso especial donde x = -1, así que realmente
[matemáticas] \ frac {1} {e} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ n} {n!} = 1 – 1 + \ frac {1} {2!} – \ frac {1} {3!} \ Cdots [/ math]
EDITAR: la pregunta ha cambiado para mostrar la forma correcta.
En general, la expansión de Taylor alrededor de un punto a está dada por
[math] \ sum_n \ frac {\ partial ^ nf (x)} {\ partial x ^ n} \ bigg | _ {x = a} \ frac {(xa) ^ n} {n!} [/ math].
El exponencial es bueno para expandir porque el operador diferencial no hace precisamente nada:
[matemáticas] e ^ x = \ sum_n \ frac {e ^ a} {n!} (xa) ^ n [/ matemáticas].
Sin embargo, es particularmente encantador expandirse alrededor de cero, lo que da la primera fórmula que dije. A medida que aumenta n , la serie Taylor se aproxima cada vez más a la función original f, y si no es una función loca, la expansión al orden infinito es exactamente la función original, por lo que si conecta x = -1 en
[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas],
es exactamente lo mismo que enchufarlo en [math] \ frac {1} {e ^ x} = e ^ {- x} [/ math], de ahí la igualdad.
Cómo demostrar que [matemáticas] \ frac {1} {e} = 1-1 + \ frac {1} {2!} +… + \ Frac {(- 1) ^ n} {n!} +… [/ matemáticas]
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Por definición, el exponente de x es:
[matemáticas] {e} ^ {x} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ {n}} {n!} [/ matemáticas]
Luego, por definición del poder negativo, obtuvimos:
[matemáticas] \ frac {1} {e} = {e} ^ {- 1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n}} {n!} [/ matemáticas ]
que no es exactamente lo que tienes …
Probablemente cometiste un error cuando escribiste tu cuarto término, ¿no?
Tal vez me estoy perdiendo algo sutil sobre las series infinitas, pero me parece que sus dos primeros términos se cancelan a cero, al igual que el tercero y el cuarto, y presumiblemente cada par después de eso. ¿No significa eso que toda la serie equivale a cero?
Al usar el teorema de las maclaurinas, podemos encontrar el valor de 1 / e …… no el teorema de Taylor porque es para la expansión de funciones f (x + h)