[matemática] x + y = 1-z [/ matemática], [matemática] x ^ 3 + y ^ 3 = 1 – z ^ 3 [/ matemática]. ¿Cómo se pueden resolver los enteros [matemática] x, y, z [/ matemática]?

Answer 1

Escribamos las dos ecuaciones proporcionadas como:

[matemáticas] x + y + z = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 1 [/ matemáticas]

También tenemos la identidad

[matemáticas] (x + y + z) ^ 3 = [/ matemáticas]
[matemáticas] (x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3) + [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 ((x + y + z) (xy + xz + yz) -xyz)) [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow 1 = 1 + 3 ((xy + xz + yz) -xyz)) [/ math]

[matemáticas] \ Flecha derecha xy + xz + yz-xyz = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ Flecha derecha xy (1-z) + z (x + y) = 0 [/ matemática]

[matemática] \ Flecha derecha xy (1-z) + z (1-z) = 0 [/ matemática]

[matemática] \ Flecha derecha (xy + z) (1-z) = 0 [/ matemática]

[math] \ Rightarrow z = 1 \ lor z = -xy [/ math]

Para el primer caso, las soluciones son [matemática] (x, -x, 1) [/ matemática] que, por simetría de las variables, también puede ser [matemática] (x, 1, -x) [/ matemática] o [matemática ] (1, x, -x) [/ math].

Para el segundo caso,

[matemáticas] x + y-xy = 1 \ Flecha derecha x (1-y) = 1-y \ Flecha derecha x = 1 [/ matemáticas]

que ya ha sido cubierto por la simetría.

Todas las soluciones por lo tanto son:

[matemática] z = 1, y = -x [/ matemática] OR [matemática] y = 1, z = -x [/ matemática] OR [matemática] x = 1, z = -y [/ matemática]

Answer 2

x ^ 3 + y ^ 3 = 1-z ^ 3

=> (x + y) (x ^ 2 + y ^ 2-x * y) = 1-z ^ 3

=> x ^ 2 + y ^ 2-x * y = (1-z ^ 3) / (1-z) = 1 + z ^ 2 + z (1)

(x + y) = 1-z

=> x ^ 2 + y ^ 2 + 2 * x * y = 1 + z ^ 2-2 * z (2)

Restando (1) de (2),

x * y = -z (3)

(xy) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2–2 * x * y = 1 + z ^ 2 + 2 * z = (1 + z) ^ 2

– (xy) = 1 + z o (xy) = 1 + z (4)

2 * y = 2 o 2 * x = 2

y = 1 o x = 1

Los valores de x e y serían simétricamente intercambiables, esa es la razón detrás de la generación de dos casos diferentes anteriores.

Ahora ponga y = 1 en la ecuación anterior y encuentre los valores correspondientes de x y z

x + z = 0

x ^ 3 + z ^ 3 = 0

Entonces, x = -z

Los pares de solución son:

(1, t, -t), (t, 1, -t) y (t, -t, 1)

Answer 3

x ^ 3 + y ^ 3 = 1 – z ^ 3;
(x + y) * (x ^ 2 – x * y + y ^ 2) = (1 – z) * (1 + z + z ^ 2);
una de las soluciones es x + y = 1 – z = 0;
por lo tanto, z = 1 yx = -y es un conjunto de soluciones.
(x ^ 2 – x * y + y ^ 2) = (1 + z + z ^ 2) ……. (1)
(x + y) ^ 2 = (1 – z) ^ 2;
x ^ 2 + 2 * x * y + y ^ 2 = 1 -2 * z + z ^ 2;
por lo tanto, x ^ 2 + y ^ 2 = 1 -2 * z + z ^ 2 – 2 * x * y;
Sustituyendo en la ecuación 1, obtenemos,
-3 * x * y = 3 * z; -x * y = z;
sustituyendo esto en x + y = 1 -z;
-z + y ^ 2 = y – y * z;
y ^ 2 – y (1 – z) + z = 0;
por lo tanto, y = 1 o y = -z;
estos producen el resto de las soluciones, es decir
y = 1 y z = -x, yx = 1, y = -z
Como puede ver, las ecuaciones son simétricas wrt x, y, z, uno podría haberse detenido después de encontrar z = 1 yx = -y y decir lo mismo sobre las otras variables.

Answer 4

Dado x + y + z = 1 …… (1)
x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = 1… .. (2)

De la ecuación (1)
z = 1-xy

Sustituir en la ecuación (1)
x ^ 3 + y ^ 3 + (1-xy) ^ 3 = 1

Al resolver esto tenemos
y = 1, y = -x

Entonces
Cuando z = 1-xy, y = 1, x = -1

También sepa acerca de cómo dividir enteros

Answer 5

Como ya mencionaron otros si [math] z = 1 [/ math] un triple arbitrario de enteros en la forma [math] (a, -a, 1) [/ math], [math] a \ in \ mathbf {Z } [/ math] satisface las ecuaciones. Por simetría se obtiene lo mismo si [matemática] x = 1 [/ matemática] o [matemática] y = 1 [/ matemática], es decir, los triples [matemática] (1, b, -b) [/ matemática] y [ matemática] (c, 1, -c) [/ matemática] para arbitraria [matemática] b, c \ in \ mathbf {Z} [/ matemática].

* Realmente puedo parar aquí. Geométricamente, sobre números complejos, la solución es la intersección de una superficie cúbica con un plano (una sección plana). Por lo tanto, la intersección es un plano cúbico (curva). Pero ya hemos encontrado que la intersección consta de tres líneas. Significa que este cúbico es un producto de estas tres líneas. Cualquier otra solución no es posible ya que la intersección sería más que cúbica. Por lo tanto, los puntos enteros de estas líneas son la respuesta. Un agradecimiento especial a Username cuyo comentario me hizo pensar en este problema elemental desde una perspectiva diferente. *

Para escolares y personas que no confían en la geometría algebraica elemental:

¿Hay alguna otra solución? Suponga que [math] z \ neq 1 [/ math] que es equivalente a [math] x + y \ neq 0 [/ math].

Como [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 = 1-z ^ 3 [/ matemáticas] tenemos
[matemáticas] (x + y) (x ^ 2 -xy + y ^ 2) = [/ matemáticas] [matemáticas] (1-z) (1 + z + z ^ 2) = [/ matemáticas] [matemáticas] ( x + y) (1 + z + z ^ 2) [/ matemáticas]

Entonces, al cancelar el término [math] x + y [/ math] obtenemos:
[matemáticas] x ^ 2 -xy + y ^ 2 = 1 + z + z ^ 2 [/ matemáticas]. (*)

Por otro lado, dado que [matemáticas] (x + y) ^ 2 = (1-z) ^ 2 [/ matemáticas],
tenemos [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy = z ^ 2-2z +1 [/ matemáticas] (**)

Restando (*) de (**) rendimientos:
[matemáticas] 3xy = -3z [/ matemáticas] o [matemáticas] xy = -z = x + y-1 [/ matemáticas]

Escribiendo la última ecuación en una forma más conveniente obtenemos:
[matemática] xy-x-y + 1 = [/ matemática] [matemática] x (y-1) – (y-1) = [/ matemática] [matemática] (x-1) (y-1) = 0 [/matemáticas]

Por lo tanto, implica [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas]. Estos casos ya se han considerado anteriormente. Por lo tanto, no hay otras soluciones.

Answer 6

Ya hay muchas soluciones perfectamente buenas para esto, pero nadie parece haber usado explícitamente la identidad [matemáticas] (x + y + z) ^ 3- (x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3) = 3 (x + y) (y + z) (z + x) [/ matemáticas]
Lo que lleva a [matemática] x + y = 0 [/ matemática] o [matemática] y + z = 0 [/ matemática] o [matemática] z + x = 0 [/ matemática] de donde la solución se sigue rápidamente.

Answer 7

sea ​​x = 1 y = 1. Encuentre el valor de z por la ecuación 1. Ponga valores de x, y, z en la ecuación 2
x = y = 1, z = -1