Cómo completar el cuadrado

Answer 1

Supongo que quieres saber cómo convertir una expresión dada como
[matemáticas] x ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]
en una expresión equivalente con un “cuadrado perfecto” y algún término de “desplazamiento”:
[matemáticas] (x + d) ^ 2 + e [/ matemáticas]
Básicamente, necesitamos encontrar las constantes [matemáticas] d [/ matemáticas] y [matemáticas] e [/ matemáticas], en términos de las constantes originales [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas]. Así es cómo:
1. Expandiendo el cuadrado perfecto, obtenemos [matemáticas] (x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2 [/ matemáticas]
2. Por lo tanto, vemos que [math] b = 2d \ Rightarrow d = \ frac {b} {2} [/ math]
3. Nuestro término constante es [matemáticas] d ^ 2 [/ matemáticas], pero queremos [matemáticas] c [/ matemáticas]. ¿Cómo convertimos el primero al segundo? Al agregar [matemática] c – d ^ 2 [/ matemática] a [matemática] d [/ matemática]

Para resumir:
[matemáticas] x ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]
[matemáticas] = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2 + (c – d ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x + d) ^ 2 + (cd ^ 2) [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] d = \ frac {b} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] e = c – d ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 2

Aquí hay una pequeña idea de cómo piensan los matemáticos: intente hacerlo al revés.

Lo que estás tratando de encontrar es algo como esto:

[matemáticas] x ^ 2 + bx + c = (x + \ alpha) ^ 2 + \ beta [/ matemáticas]

En lugar de resolver lo que hay que hacer en el lado izquierdo, intentemos manipular el lado derecho.

[matemáticas] (x + \ alpha) ^ 2 + \ beta = x ^ 2 + 2 \ alpha x + (\ alpha ^ 2 + \ beta) [/ matemáticas]

Ahora olvida el último término por el momento. Lo importante es que el coeficiente de [matemáticas] x [/ matemáticas] es [matemáticas] 2 \ alpha [/ matemáticas]. Esto te dice lo que debes hacer cuando te enfrentas a una cuadrática general. Por ejemplo, significa que existe alguna [matemática] \ beta [/ matemática] tal que:

[matemáticas] x ^ 2 – 23x + 127 = (x- \ frac {23} {2}) ^ 2 + \ beta [/ matemáticas]

Ahora que sabe cómo se ve la respuesta, puede completar el cuadrado trabajando hacia adelante. Lo sabemos:

[matemáticas] (x- \ frac {23} {2}) ^ 2 = x ^ 2 – 23x + \ frac {529} {4} [/ matemáticas]

Por lo tanto:

[matemáticas] x ^ 2 – 23x + 127 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x- \ frac {23} {2}) ^ 2 – \ frac {529} {4} + 127 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (x- \ frac {23} {2}) ^ 2 – \ frac {21} {4} [/ matemáticas]

Answer 3

Hola a todos.
Comenzaré un Nivel A en Matemáticas en los próximos meses, y en preparación para esto, he estado aprendiendo matemáticas A * (A +, dependiendo de dónde esté).
Como evidentemente nunca habrás completado el cuadrado antes, explicaré cómo hacerlo por ti de la manera más simple posible.

Aquí hay una pregunta de examen común en un documento que no es de cálculo:

Resuelve esta ecuación completando el cuadrado:
x ^ 2 + 6x +8

La fórmula para completar el cuadrado es la siguiente:

(x + b / 2) ^ 2 + y

Entonces, en el caso de esta pregunta, b es 6.

Entonces, te quedas con (x + 3) ^ 2.

Multiplica esto, obtenemos:

x ^ 2 + 6x + 9

Esto es correcto, aparte de los nueve. Para obtener ocho, simplemente ponemos uno menos después del paréntesis.

(x + 3) ^ 2 – 1

Como es cuadrático, debe ser igual a cero.

(x + 3) ^ 2 – 1 = 0

Para encontrar x, intentamos eliminar tantos términos como podamos de la izquierda para obtener x por sí mismo.

(x + 3) ^ 2 = 1 (agregando el que se elimina de la izquierda).

Luego raíz cuadrada la izquierda para obtener

x + 3 = √1 (lo que hacemos a un lado, tiene que hacerse al otro)

Finalmente, menos tres desde la izquierda y desde la derecha para obtener:

x = -3 (+ o -) √1

Esto nos da dos respuestas para x,

x = -4
x = -2