Si a es un cuadrado perfecto, ¿por qué a + 1 tampoco es un cuadrado perfecto?

Answer 1

En realidad, podría ser útil observar una situación algo más general, donde [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] a + n [/ matemáticas] son ​​ambos cuadrados perfectos.

Si [matemática] a = x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] a + n = y ^ 2 [/ matemática], entonces

[matemáticas] n = (a + n) – a = y ^ 2 – x ^ 2 = (y + x) (yx) [/ matemáticas]

Entonces, todas las soluciones se pueden encontrar comenzando con dos números [matemática] u = y + x [/ matemática] y [matemática] v = yx [/ matemática] cuyo producto es [matemática] n [/ matemática], y resolviendo para [ matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] u [/ matemáticas] y [matemáticas] v. [/ matemáticas]
Como [math] y = \ frac {u + v} {2} [/ math] y [math] x = \ frac {uv} {2} [/ math], es posible algunas opciones para [math] u [ / math] y [math] v [/ math] no darán como resultado que x e y sean enteros. Pero todas las posibles soluciones válidas para [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] deben provenir de algunas [matemáticas] u [/ matemáticas] y [matemáticas] v [/ matemáticas] para las cuales [matemáticas] u \ cdot v = n [/ math]

En particular, si [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 1 = (y + x) (yx) [/ matemáticas] y las únicas soluciones enteras son cuando [matemáticas] y + x = yx = 1 [/ matemática] ([matemática] x = 0 [/ matemática], [matemática] y = 1 [/ matemática]) y cuando [matemática] y + x = yx = -1 [/ matemática] ([matemática] x = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] y = -1 [/ matemáticas]). En ambos casos, [matemática] a = 0 [/ matemática].

Answer 2

Esto solo es válido para [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas]. Como [matemáticas] 0 ^ 2 = 0 = a [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 ^ 2 = 1 = 0 + 1 = a + 1 [/ matemáticas], por lo tanto, 1 y 0 son cuadrados perfectos que tienen una diferencia de solo 1)

Digamos que tengo un número entero [math] a [/ math] que es un cuadrado perfecto. Eso significa que hay un número entero [math] b [/ math] tal que [math] b ^ 2 = a [/ math].

Entonces, veamos qué sucede si miramos [math] b + 1 [/ math], este es el siguiente entero después de [math] b [/ math]. Entonces, si hubiera alguna razón para sospechar que [matemáticas] a + 1 [/ matemáticas] sería un cuadrado perfecto, entonces [matemáticas] b + 1 [/ matemáticas] sería un buen lugar para comenzar a buscar.

Pero [matemáticas] (b + 1) ^ 2 = b ^ 2 + 2 b + 1 [/ matemáticas] [matemáticas] = a + 2 b + 1 = (a + 1) + 2 b [/ matemáticas]. Como puede ver, [math] (b + 1) ^ 2 [/ math] ya le da un número mayor que [math] a + 1 [/ math] (a menos que [math] b = 0 [/ math]) . Y [math] b ^ 2 = a [/ math] es el entero más pequeño debajo de [math] a + 1 [/ math].

Como resultado del hecho de que la función Cuadrado es homogénea aumentando para los números positivos (y, por lo tanto, los enteros con los que estamos trabajando) y el hecho de que es continua, ahora podemos concluir que la raíz cuadrada de [matemáticas] a + 1 [/ matemática] debe estar en algún lugar entre [matemática] b [/ matemática] y [matemática] b + 1 [/ matemática]. Pero como [math] b [/ math] es entero, no hay ningún número entre esos límites que también sea un entero, y por lo tanto [math] a + 1 [/ math] no puede ser un cuadrado perfecto. A menos que [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]

Answer 3

Es si a = 0.

Veamos cuando a es mayor que 0. Entonces a es el cuadrado de algún entero positivo b. El siguiente cuadrado perfecto después de [matemáticas] a = b ^ 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] (b + 1) ^ 2 = b ^ 2 + 2b + 1 [/ matemáticas], que es 2b + 1 más grande que a. Como b es positivo, está a más de 1 de distancia, por lo que a + 1, que está a solo 1 de distancia, no puede ser un cuadrado perfecto.

Answer 4

Porque no es suficiente.

Un número es un cuadrado perfecto si puedes dibujar un cuadrado usando ese número de cuadrados adyacentes.

Entonces, a partir de uno, un cuadrado más no es suficiente: necesita tres de ellos agregados a los lados derecho y superior para un cuadrado compuesto por 4 subcuadrados.

Luego, una vez más, no puede simplemente agregar uno más, sino que necesita 5 de ellos para crear otro cuadrado compuesto por nueve subcuadrados, etc.

Answer 5

Si incluye los números complejos, es cierto para -1 y 0. Si incluye solo los reales, solo es cierto para 0.

¿Por qué?

Una forma de pensarlo es notar que los cuadrados son sumas de los números impares:

1 = 1
4 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5

y así.

Entonces, las brechas entre los números cuadrados siguen aumentando y el único lugar donde la brecha = 1 está entre 0 y 1.

Answer 6

Aunque todas las explicaciones anteriores tienen sentido por sí mismas, me gustaría señalar el hecho de que si de hecho P (a): “a es un cuadrado perfecto” implicara P (a + 1): “a + 1 es un cuadrado perfecto “(P (0) es verdadero por consulta directa), luego, por inducción, esto sería cierto para todos los enteros a. (Lo que, si no es obvio, significaría que el concepto de cuadrados perfectos no tiene sentido, porque acabamos de demostrar que todos los números son cuadrados perfectos)
Algunas preguntas están a un pequeño paso deductivo de no tener que hacerse. Solo digo.

Answer 7

Si toma un cuadrado y hace que un lado sea 1 unidad más largo, obtendrá un rectángulo y no un cuadrado. Esto es geometría, no álgebra, pero aquí es realmente lo mismo.

Answer 8

Deje a y b ser dos enteros no negativos tales que [math] a ^ 2 +1 = b ^ 2 [/ math] (lo que implica que [math] a Entonces [matemáticas] 1 = b ^ 2 – a ^ 2 = (ba) (b + a) [/ matemáticas]
Ahora ba y b + a son dos enteros positivos y su producto es igual a 1. Por lo tanto, debemos tener [math] ba = 1 [/ math] y [math] b + a = 1 [/ math]. Agregue la primera ecuación a la segunda y obtendrá [matemática] b = 1 [/ matemática] y de esto podemos decir que [matemática] a = 0 [/ matemática].

Por lo tanto, hemos demostrado que los únicos dos cuadrados perfectos que están separados por 1 son 0 y 1.

Answer 9

supongamos que a + 1 fuera un cuadrado perfecto. Entonces a + 1 = b ^ 2 para som b. en cuyo caso a = b ^ 2 – 1 = (b + 1) (b-1). pero a = c ^ 2 para algunos c. entonces
c * c = (b-1) (b + 1). Esto ciertamente es una mala noticia si c es primo, por lo que al menos si a es el cuadrado de un primo, entonces a + 1 no es un cuadrado perfecto.