¿Cuál es el número de soluciones enteras (positivas, negativas o cero) de [matemáticas] xy – 6 (x + y) = 0 [/ matemáticas] con [matemáticas] x \ leq y [/ matemáticas]?

Answer 1

No voy a resolver esto por ti, pero esto es lo que debes hacer:

1. Aislar [math] x [/ math], tratando [math] y [/ math] como una constante. Debe obtener una ecuación de la forma [matemática] x = f (y) [/ matemática] donde [matemática] f (y) [/ matemática] es alguna función de [matemática] y [/ matemática].

2. La función [matemáticas] f (y) [/ matemáticas] en el lado derecho será una fracción. Desea encontrar todos los valores enteros posibles de [math] y [/ math] de modo que [math] f (y) [/ math] también sea un entero. No hay muchas opciones.

3. Una solución trivial es [matemática] x = y = 0 [/ matemática]; todas las demás soluciones vienen en pares porque la ecuación es simétrica al intercambio de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]. Por ejemplo, es fácil ver que [matemática] x = 2, y = -3 [/ matemática] es una solución, pero [matemática] x = -3, y = 2 [/ matemática] también es una solución. Entonces, dado que solo estamos buscando soluciones con [math] x \ le y [/ math], es suficiente buscar solo soluciones con [math] y \ ge 0 [/ math].

Si sigue los pasos anteriores, la solución es bastante trivial.

Answer 2

Esta es una ecuación lineal de diofantina, por lo que supongo que podría usar directamente el algoritmo euclidiano para resolverlo. Pero en caso de que no esté dentro de los métodos que conoce, me gustaría ofrecer una solución alternativa utilizando solo álgebra de secundaria y teoría de números.

Esta ecuación recuerda las fórmulas de Vieta, que para una ecuación cuadrática [matemáticas] bz ^ 2 + cz + d = 0 [/ matemáticas] son:
[matemáticas] z_ {1} + z_ {2} = – \ frac {c} {b} [/ matemáticas], y
[matemáticas] z_ {1} z_ {2} = \ frac {d} {b} [/ matemáticas].
Deje que [math] z_ {1} = x [/ math] y [math] z_ {2} = y [/ math]
Por lo tanto, la pregunta es: ¿cuáles son las soluciones enteras de la ecuación cuadrática [matemáticas] z ^ 2 + az-6a = 0 [/ matemáticas]?

Para resolver esto, simplemente conéctelo a la fórmula cuadrática, [math] z = \ frac {-f \ pm \ sqrt {f ^ 2-4eg}} {2e} [/ math]. Para soluciones enteras, necesitaría que la parte debajo de la raíz cuadrada ([math] f ^ 2-4eg [/ math]) sea un cuadrado perfecto; es decir, [math] a ^ 2 + 24a = k ^ 2 [/ math] para algunas [math] k \ in \ mathbb {Z} [/ math] (¡intenta llegar a esto tú mismo!).

Para resolver esto , completa el cuadrado para dar [matemáticas] (a + 12) ^ 2 – k ^ 2 – 12 ^ 2 = 0 [/ matemáticas]. Sustituya [matemática] a + 12 [/ matemática] por [matemática] n [/ matemática] para dar [matemática] n ^ 2 – k ^ 2 = 12 ^ 2 [/ matemática]. Factoriza para dar [matemáticas] (nk) (n + k) = 144 [/ matemáticas], entonces se convierte en una simple cuestión de encontrar los factores enteros de 144 (¡recordando que también hay factores negativos!). A partir de esto, resuelva las diferentes [matemáticas] n [/ matemáticas], y luego [matemáticas] a [/ matemáticas], y luego [matemáticas] z [/ matemáticas], que le darían la respuesta deseada.

¡Espero que esto ayude!

Answer 3

Xy-6 (x + y) = 0
Xy-6 (x + y) + 36 = 36
(X-6) (y-6) = 36 = 2 ^ 2 * 3 ^ 2
No de factores de 36 = 3 * 3 = 9
Ahora x-6 e y-6 pueden tener 9 valores positivos también para -6, -6 es un valor válido para x-6 e y-6
Entonces x = 0 e y = 0 también es un sol
Ahora soluciones negativas
Por cada par positivo hay un par negativo, entonces 9 pares negativos
Por lo tanto, 18 valores enteros y 10 valores enteros no negativos
Creo que se solicitan valores enteros no negativos, de lo contrario no hay un valor correcto en las opciones