¿Cómo se puede demostrar que una ecuación cuadrática ax ^ 2 + bx + c (a> 0) tiene un valor mínimo, siendo (4ac-b ^ 2) / 4a?

Answer 1

Puedes hacerlo de esta manera.
Deje que la ecuación sea f (x)
=> f (x) = ax ^ 2 + bx + c
derivada de f (x) be g (x)
=> g (x) = 2ax + b
debe hacerse cero para encontrar máximos o mínimos
=> 2ax + b = 0
=> x = -b / 2a
entonces tenemos que encontrar la derivada doble de f (x) y verificar el signo de la derivada doble.
Si es negativo, entonces hay máximos en x = -b / 2a.
Si es positivo, entonces hay mínimos en x = -b / 2a.
Entonces, la segunda derivada es 2a.
entonces si a> 0, mínimo en x = -b / 2a
si a <0, máximo en x = -b / 2a
entonces, el valor extremo es
f (-b / 2a) = a (-b / 2a) ^ 2 + b (-b / 2a) + c
= (4ac-b ^ 2) / 4a

Editar:
Si no sabes cálculo, entonces puedes hacerlo de esta manera

escriba ax ^ 2 + bx + c como a (x ^ 2 + (b / a) x + c / a)
=> a (x ^ 2 + 2x (b / 2a) + (b / 2a) ^ 2- (b / 2a) ^ 2 + c / a)
= a (x + b / 2a) ^ 2 + a (c / a- (b / 2a) ^ 2)
= a (x + b / 2a) ^ 2 + ((4ac-b ^ 2) / 4a)
entonces en x = -b / 2a
el primer término siempre es positivo como a> 0
entonces el valor mínimo del primer término es cero e igual a cero en x = -b / 2a
entonces queda el segundo término y su valor es (4ac-b ^ 2) / 4a.

Answer 2

Tenemos [matemática] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática], de modo que [matemática] a> 0 [/ matemática]

Considere sus primeras derivadas:
[matemática] f ‘(x) = 2ax + b [/ matemática]

y la segunda derivada
[matemáticas] f ” (x) = 2a [/ matemáticas]

Como, [matemática] a> 0 [/ matemática] => [matemática] f ” (x) [/ matemática] siempre es positiva. Por lo tanto, la función solo tendrá un mínimo y ningún máximo.

f (x) alcanzará mínimos cuando [matemática] f ‘(x) [/ matemática] es [matemática] 0 [/ matemática]. es decir
[matemáticas] 2ax + b = 0 [/ matemáticas]
=> [matemáticas] x = \ frac {-b} {2a} [/ matemáticas]

Al poner [math] x = \ frac {-b} {2a} [/ math] en la ecuación original obtenemos:

[matemáticas] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]
[matemáticas] = a \ cdot (\ frac {-b} {2a}) ^ 2 + b \ cdot \ frac {-b} {2a} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {b ^ 2} {4a} – \ frac {b ^ 2} {2a} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {4ac – b ^ 2} {4a} [/ matemáticas]

QED

Answer 3

[matemáticas] y = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]
[matemáticas] y = a [(x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + (c- \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2})] [/ matemáticas]
cambiar el origen a -b / 2a. [math] x ‘= x + \ frac {b} {2a} [/ math] & let [math] \ delta ^ 2 = (c- \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2}) [/ math]
[matemáticas] y = a [x ‘^ 2 + \ delta ^ 2] [/ matemáticas]
para encontrar el valor mínimo de y debemos poner x ‘= 0.
Ahora sustituya x = -b / 2a en la ecuación original.
Hecho.

Answer 4

La ecuación cuadrática dada es [matemática] f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemática]

Esta ecuación es simétrica con respecto a la línea [matemáticas] x = \ frac {-b} {2a} [/ matemáticas]

Entonces, f (x) será mínimo en [matemáticas] x = \ frac {-b} {2a} [/ matemáticas]

Sustituyendo [matemáticas] x = \ frac {-b} {2a} [/ matemáticas] en f (x).

Obtenemos, f (x) = [matemáticas] = \ frac {4ac – b ^ 2} {4a} [/ matemáticas]

Answer 5

Por el momento, hay tres respuestas válidas, todas las cuales son esencialmente las mismas (usando el cálculo diferencial), pero he sido A2A, así que déjame ver si puedo encontrar una respuesta diferente.

Se nos da [math] f = ax ^ 2 + bx + c [/ math] y queremos saber si tiene un mínimo y queremos ese valor mínimo.
Como a> 0, podemos dividirlo para obtener una nueva función con las mismas propiedades (excepto que el mínimo también se dividirá)

[matemáticas] F = x ^ 2 + (b / a) x + (c / a) [/ matemáticas]
Deje b / a = B y c / a = C (esto no es obligatorio, pero ayuda a simplificar las expresiones)
[matemáticas] F = x ^ 2 + Bx + C [/ matemáticas]

“Completemos el cuadrado”:
[matemáticas] F = x ^ 2 + 2 * (1) * (B / 2) * x + (B / 2) ^ 2- (B / 2) ^ 2 + C [/ matemáticas], donde solo he escrito B como 2B / 2 y también suma y resta (B / 2) ^ 2.
Ahora podemos usar la fórmula popular:
[matemáticas] (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] F = (x + (B / 2)) ^ 2 + C- (B / 2) ^ 2 [/ matemática] = cuadrado variable + constante.

F tiene el término cuadrado que siempre es positivo o 0. Podemos establecerlo en 0 configurando x + (B / 2) = 0 o x = -B / 2. En este punto, F tiene el valor mínimo de 0 + C- (B / 2) ^ 2.

Sustituya C = c / a y B = b / a para obtener el mínimo como (4ac-b ^ 2) / 4a. QED

Answer 6

El valor mínimo para a> 0 es el vértice, por lo que utilizamos la forma de vértice

[matemáticas] a (x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a}) [/ matemáticas]

[matemáticas] a (x + \ frac {b} {2a}) ^ 2 + a \ frac {c} {a} -a \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} [/ matemáticas]

ahora vamos a pretender que el primer término no existe por simplicidad.

[matemáticas] a \ frac {4ac} {4a ^ 2} -a \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {a (4ac-b ^ 2)} {4a ^ 2} = \ frac {4ac-b ^ 2} {4a} [/ matemáticas]

ya que el vértice de [matemáticas] a (xh) ^ 2 + k [/ matemáticas] es [matemáticas] (h, k) [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {4ac-b ^ 2} {4a} [/ matemática] es el valor y más bajo de la ecuación.

Método 2: También puedes encontrarlo usando derivados.

si [matemáticas] f (x) = ax ^ 2 + bx + c, [/ matemáticas]

[matemática] f ‘(x) = 2ax + b [/ matemática]

como la pendiente de la tangente de cualquier gráfico en su vértice es 0:

[matemáticas] 2ax + b = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – \ frac {b} {2a} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = a (- \ frac {b} {2a}) ^ 2 + b (- \ frac {b} {2a}) + c = \ frac {b ^ 2} {4a} – \ frac {b ^ 2} {2a} + c = \ frac {b ^ 2} {4a} – \ frac {2b ^ 2} {4a} + \ frac {4ac} {4a} = \ frac {b ^ 2-2b ^ 2 + 4ac} {4a} = \ frac {-b ^ 2 + 4ac} {4a} [/ math]

Answer 7

Para que tengamos un nombre, dejemos

[matemáticas] f (x) = ax ^ 2 + bx + c. [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] 4af (x) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac = (2ax + b) ^ 2 + 4ac-b ^ 2. [/ Matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] f (x) = \ dfrac {(2ax + b) ^ 2 + 4ac-b ^ 2} {4a}. [/matemáticas]

Como [math] (2ax + b) ^ 2 \ ge 0, [/ math] [math] f (x) [/ math] alcanza un mínimo cuando [math] x = – \ dfrac {b} {2a} [/ matemática] y el valor mínimo es [matemática] f (- \ dfrac {b} {2a}) = \ dfrac {4ac-b ^ 2} {4a}. [/ matemática]