¡Cómo demostrar por principio de inducción matemática que para todos los enteros [matemáticas] n \ ge 1 [/ matemáticas] [matemáticas] 1 \ cdot 1! +2 \ cdot 2! +3 \ cdot 3! + \ Ldots + n \ cdot n! = (n + 1)! – 1

Answer 1

El procedimiento básico para resolver problemas de inducción matemática con igualdades es:

1. Verifique la expresión dada para un par de valores arbitrarios (generalmente 0,1, 2 ya que el cálculo es fácil)

2. Suponga que la expresión es válida para n = k. Aquí, k sirve como una variable.

3. Usando el supuesto hecho, demuestre que la expresión es válida para n = k + 1.

Ahora, para abordar este problema.
Comenzando, verificamos la función para n = 1,2 (ya que n> 0)

F (1):
LHS – 1.1! = 1
RHS – (1 + 1)! – 1 = 2! – 1 = 2 – 1 = 1

Del mismo modo para n = 2, tenemos
1.1! + 2.2! = 3! – 1 = 5

Ahora, considere la expresión válida para n = k, que da:
1.1! + 2.2! + ….. + kk! = (k + 1)! – 1

Ahora debemos demostrar que la expresión es verdadera para n = k + 1. Poniendo esto n en la expresión:
1.1! + 2.2! + ….. + kk! + (k + 1). (k + 1)! = k + 1 + 1)! – 1

Para probar esto, es suficiente mostrar que el lado izquierdo (LHS) es igual al lado derecho (RHS).

Resolviendo LHS

Usando el resultado obtenido de la suposición, podemos reemplazar todos los términos antes del término k + 1 en el LHS por (k + 1). – 1.

Lo que da:
(k + 1)! – 1 + (k + 1). (K + 1)!
Tomando (k + 1)! común,
(k + 1)!. (1 + k + 1) – 1
(k + 1)!. (k + 2) – 1

¡Ahora, use la propiedad n!. (N + 1) = (n + 1)!
Esto se puede entender al ver que efectivamente todo lo que está sucediendo es la multiplicación del siguiente número natural. El producto ahora es todos los números hasta n (n!) Y el siguiente número n + 1, que es básicamente el producto de todos los números hasta n + 1.

Aplicando la propiedad,
(k + 1)!. (k + 2) – 1 = (k + 2)! – 1

Cuál es el RHS requerido.

Ahora, para concluir, dado que el resultado es verdadero para n = k + 1, debe ser cierto para todos los números naturales (n> 0, por supuesto) ya que k es simplemente una variable y puede ser cualquier número natural dado para un caso específico . Simplemente cambie la variable a n para obtener el resultado.

1.1! + 2.2! + …… .. + nn! = (n + 1)! – 1

Espero que esto haya ayudado.

Answer 2

Esto no requiere inducción matemática. Si lo necesita específicamente por inducción, creo que ya tiene la solución.

Sin inducción es lo siguiente:

1.1! + 2.2! + …… + nn! = [matemáticas] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ nk (k!) = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ n (k + 1) k! – \ sum \ limits_ {k = 1} ^ nk! = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ n (k + 1)! – \ sum \ limits_ {k = 1} ^ nk! .[/matemáticas]

Esto es igual a: 2! + 3! + 4! + … + (n + 1)! – (1! + 2! + 3! + …… + n!) = (N + 1)! – 1

Entonces,
1.1! + 2.2! + …… + nn! = 2! + 3! + 4! + … + (n + 1)! – (1! + 2! + 3! + …… + n!) = (N + 1)! – 1. (QED)

Answer 3

Oooh, un A2A.

Alguien ya fue a Yahoo! Respuestas sobre esto, pero intentaré dar la respuesta que considero más útil.

Espero que al menos sepa que las dos partes principales de su prueba son:

1. Probar que el caso base es válido. Si está demostrando que algo es cierto para todos [math] n \ geq blah [/ math], entonces desea poner [math] blah [/ math] en el lugar de [math] n [/ math] y probar que la cosa es cierta en ese caso. (Por ejemplo, si se me hubiera pedido que probara por inducción que [matemáticas] 1 + 2 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas] para [matemáticas] n \ geq 1 [/ math], luego, para mi caso base, quiero confirmar que [math] 1 = \ frac {1 (1 + 1)} {2} [/ math].)
2. Demuestre que el paso de inducción funciona. En este caso, está asumiendo que lo que estamos tratando de probar funciona para un valor dado de [math] n [/ math] en el dominio dado, y muestra que debe funcionar para el siguiente valor de [math] n [/ matemáticas]. Lo que me gusta hacer para esta parte es elegir una letra nueva, como [math] k [/ math], para representar el valor que asumimos que funciona. Nuevamente, si me piden que pruebe que [matemáticas] 1 + 2 + \ cdots + n = \ frac {n (n + 1)} {2} [/ matemáticas] para [matemáticas] n \ geq 1 [/ matemáticas ], entonces diré: “Supongamos que [matemáticas] 1 + 2 + \ cdots + k = \ frac {k (k + 1)} {2} [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] k \ geq 1 [ / math]. [No pondré en cursiva “algunos” en la prueba; solo lo enfatizaré aquí para que no te lo pierdas.] Mostraremos que [math] 1 + 2 + \ cdots + k + ( k + 1) = \ frac {(k + 1) (k + 1 + 1)} {2} [/ matemáticas] “. Tenga en cuenta que escribí deliberadamente la suma [matemática] 1 + 2 + \ cdots + (k + 1) [/ matemática] de tal manera que podría separar [matemática] 1 + 2 + \ cdots + k [/ matemática] parte del último término, porque sé que puedo reemplazar esa parte de la suma con algo útil de lo que había supuesto:

[matemáticas] 1 + 2 + \ cdots + k + (k + 1) = \ frac {k (k + 1)} {2} + (k + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {k (k + 1)} {2} + \ frac {2 (k + 1)} {2} [/ matemáticas]
y así.

El enfoque general que desearía adoptar con su problema es similar.

Answer 4

1.1! +2.2! +3.3! +… Nn! = (n + 1)! – 1 para todos los enteros n> 1?

Usando la inducción matemática :
Caso base :
Deje n = 2.
1.1! + 2.2! = (2 + 1)! – 1
1 + 2 × 2 = 3! -1
5 = 5, lo cual es cierto.

Hipótesis de inducción :
Supongamos que la afirmación es cierta para algunos k, es decir,
1.1! +2.2! +3.3! + … kk! = (k + 1)! – 1

Ahora, tenemos que probar para k + 1;
1.1! +2.2! +3.3! +… Kk! + (K + 1) (k + 1)! = (K + 1 + 1)! – 1
1.1! +2.2! +3.3! +… Kk! + (K + 1) (k + 1)! = (K + 2)! – 1
Ahora, 1.1! +2.2! +3.3! + … kk! = (k + 1)! – 1 de la hipótesis de inducción, por lo que poner esto en LHS,
(k + 1)! – 1 + (k + 1) (k + 1)! = (k + 2)! – 1
(k + 1)! + (k + 1) (k + 1)! = (k + 2)! – 1 + 1
Tomando (k + 1)! tan común en el lado izquierdo,
(k + 1)! (1 + k + 1) = (k + 2)!
(k + 1)! (k + 2) = (k + 2)!
por la definición de factorial, (k + 2) (k + 1)! = (k + 2)!
(k + 2)! = (k + 2) !, que es una identidad y obviamente cierto.
Por lo tanto, la declaración es válida para todos n> 2

Answer 5

Sea [math] S (n) [/ math] la declaración: [math] 1 \ cdot {1!} + 2 \ cdot {2!} + 3 \ cdot {3!} + \ Dots + n \ cdot { n!} = (n + 1)! – 1 [/ matemáticas]; [matemáticas] n \ geq {1} [/ matemáticas]

Paso básico: [matemática] S (1) [/ matemática]:

LHS: [matemáticas] (1) \ cdot {(1)!} = 1 [/ matemáticas]

RHS: [matemáticas] \ grande ((1) +1 \ grande)! – 1 = 2! -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {37 mm} = 1 [/ matemáticas]

[matemática] \ hspace {47.5 mm} [/ matemática] LHS [matemática] = [/ matemática] RHS [matemática] \ hspace {1 mm} [/ matemática] (verificado).

Paso inductivo:

Suponga que [matemática] S (k) [/ matemática] es verdadera, es decir, suponga que

[matemáticas] 1 \ cdot {1!} + 2 \ cdot {2!} + 3 \ cdot {3!} + \ dots + k \ cdot {k!} = (k + 1)! – 1 [/ matemáticas] ; [matemáticas] k \ geq {1} [/ matemáticas]

[matemática] S (k + 1) [/ matemática]: [matemática] \ subrayado {1 \ cdot {1!} + 2 \ cdot {2!} + 3 \ cdot {3!} + \ dots + k \ cdot {k!}} + (k + 1) \ cdot {(k + 1)!} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = (k + 1)! – 1+ (k + 1) \ cdot {(k + 1)!} [/ matemáticas]

[math] \ hspace {13 mm} = (k + 1)! \ big (1+ (k + 1) \ big) -1 [/ math]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = (k + 1)! (k + 2) -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {13 mm} = (k + 2)! – 1 [/ matemáticas]

Entonces, [matemática] S (k + 1) [/ matemática] es verdadera siempre que [matemática] S (k) [/ matemática] sea verdadera.

Por lo tanto, [matemáticas] 1 \ cdot {1!} + 2 \ cdot {2!} + 3 \ cdot {3!} + \ Dots + n \ cdot {n!} = (N + 1)! – 1 [/ matemáticas]; [matemáticas] n \ geq {1} [/ matemáticas].

Answer 6

Prueba: n = 1 1.1! = (1 + 1)! – 1 = 1
Suponga que la declaración es correcta para n
[matemáticas] 1 \ cdot 1! +2 \ cdot 2! +… + (n + 1) (n + 1)! = [/ matemáticas]
Por suposición
[matemáticas] = (n + 1)! – 1+ (n + 1) (n + 1)! [/matemáticas]
[matemáticas] = (n + 1)! [1+ (n + 1)] – 1 = [/ matemáticas]
[matemáticas] = (n + 1)! (n + 2) -1 = (n + 2)! – 1 [/ matemáticas]

Answer 7

Esto ha sido respondido aquí:
¿Cuál es la prueba de la afirmación, por principio de inducción matemática, de que 1 * 1! + 2 * 2! + 3 * 3! +… + N * n! = (n + 1)! – 1 para todos los números naturales?

Answer 8

La inducción matemática funciona de la siguiente manera: (1) verifique el enunciado para un valor específico de n (2) muestre que si el enunciado es verdadero para n, también lo es para (n + 1). Llamamos a estos pasos la base y el paso inductivo.

Deje que [matemática] P (n): [/ matemática] [matemática] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k \ cdot k!} = (N + 1)! – 1, n \ geq 1 .[/matemáticas]

Base en [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]

En el lado derecho tenemos [matemáticas] 1 \ cdot 1! = 1 \ cdot 1 = 1. [/ matemáticas]

Y en el lado izquierdo [matemáticas] (1 + 1)! – 1 = 2! -1 = 1. [/ Matemáticas]

1 = 1, entonces [matemáticas] P (1) [/ matemáticas] es cierto.

Paso inductivo

Deje [math] n \ in \ N / n \ geq 1 [/ math]. Supongamos que [math] P (n) [/ math] se mantiene y muestra que [math] P (n) \ Rightarrow P (n + 1). [/ Math]

Tenemos [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k \ cdot k!} = (N + 1)! – 1 [/ math] de la hipótesis de inducción.

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k \ cdot k!} + (N + 1) (n + 1)! = (N + 1)! – 1+ (n + 1 ) (n + 1)! [/ matemáticas]

Lo que da [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k \ cdot k!} + (N + 1) (n + 1)! = (N + 1)! (1+ (n + 1)) – 1 [/ matemáticas]

Que es [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k \ cdot k!} + (N + 1) (n + 1)! = (N + 1)! (N + 2) – 1 [/ matemáticas]

¡Lo que equivale a [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k \ cdot k!} + (N + 1) (n + 1)! = (N + 2)! – 1 [/ matemáticas]

Entonces [math] P (1) [/ math] es verdadero, y [math] P (n) \ Rightarrow P (n + 1), \ thinspace n \ in \ N / n \ geq 1 [/ math]. Entonces [math] P (n) [/ math] siempre es cierto para [math] n \ geq 1 [/ math].

Answer 9

Es una inducción matemática directa.

Primero configure su estado de cuenta

[matemáticas] P (n): 1 * 1! + 2 * 2! + [/ matemáticas] [matemáticas] \ ldots [/ matemáticas] [matemáticas] + n * n! = (n + 1)! – 1 [/ matemáticas]

Ahora haces tu caso base.

[matemáticas] P (2): 1 * 1! + 2 * 2! = 5 = (2 + 1)! – 1 [/ matemáticas]

entonces LHS = RHS

Ahora declaras la hipótesis inductiva

Suponga [matemáticas] P (k): 1 * 1! + 2 * 2! + [/ matemáticas] [matemáticas] \ ldots [/ matemáticas] [matemáticas] + k * k! = (k + 1)! – 1 [/ matemáticas]

Luego sigue el paso inductivo.

[matemáticas] P (k + 1): 1 * 1! + 2 * 2! + [/ matemáticas] [matemáticas] \ ldots [/ matemáticas] [matemáticas] + k * k! + (k + 1) * (k + 1)! [/matemáticas]
[matemáticas] P (k + 1): (k + 1)! – 1 + (k + 1) * (k + 1)! [/matemáticas]
[matemáticas] P (k + 1): (k + 1)! (1+ (k + 1)) – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] P (k + 1): (k + 1)! (k + 2) – 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] P (k + 1): (k + 2)! – 1 = ((k + 1) +1)! -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] P (k + 1): (k + 2)! – 1 = ((k + 2)! -1 [/ matemáticas]

LHS = RHS

Answer 10

Para la serie 1.1! +2.2! +3.3! +… Nn!
¡El Tn (enésimo término) sería nxn! = (n + 1 – 1) xn! = (n + 1) xn! – n! = (n + 1)! – n!

¡Cuando pones n = 1 se convertirá en 2! – 1!
en n = 2 se convertirá en 3! – 2!
… ..
en n = n se convertirá (n + 1)! – n!

Cuando agregas el Tn de n = 1 a n = n será

(2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! -3!)…. + (n + 1! – n!)

Observe que los términos negativos (¡excepto -1!) Cancelarán los términos positivos anteriores

¡Por lo tanto, lo que quedará es (n + 1)! – 1

Answer 11

Si su objetivo es aprender inducción, ya tiene muchas respuestas a su pregunta.

Ofreceré una técnica elegante más corta llamada “suma telescópica”.

El enésimo término general T (n) = nn! = (N + 1-1) .n! = (N + 1) .n! – 1.n! = (N + 1)! – n!

¡Así T (n) = (n + 1)! – n!

Del mismo modo, T (n-1) = n! – (n-1)!

Del mismo modo, T (n-2) = (n-1)! – (n-2)! y así.

¡LHS se obtiene agregando T (1) + T (2) +… + T (n), lo que dará como resultado la cancelación de todos los términos factoriales, excepto el último y el primer término (n + 1)! ¡y 1!. Tal suma se llama suma telescópica

Por lo tanto, LHS = (n + 1)! – 1 = RHS

Answer 12

Duplicado de:
¿Cómo puedo demostrar por principio de inducción matemática que para todos los enteros [matemáticas] n \ ge 1 [/ matemáticas] [matemáticas] 1 \ cdot 1! +2 \ cdot 2! +3 \ cdot 3! + \ Ldots + n \ cdot n! = (n + 1)! – 1? [/ matemáticas]

Answer 13

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ nn \ cdot n! = (n + 1)! – 1 [/ matemáticas]

1. Probar [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] es cierto

LHS:

1

RHS:

2–1 = 1

LHS = RHS por lo tanto [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] es verdadero

2. Suponiendo que [math] P_k [/ math] es verdadero

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ ki \ cdot i! = (k + 1)! – 1 [/ matemáticas]

3. Probar [math] P_ {k + 1} [/ math] es verdadero siempre que [math] P_k [/ math] sea verdadero

LHS:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} i \ cdot i! [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ ki \ cdot i! + (k + 1) (k + 1)! [/ matemáticas]

[matemáticas] (k + 1)! – 1 + (k + 1) (k + 1)! [/ matemáticas]

[matemáticas] (k + 1)! (1 + k + 1) -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (k + 1)! (k + 2) -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (k + 2)! – 1 [/ matemáticas]

RHS:

[matemáticas] (k + 2)! – 1 [/ matemáticas]

LHS = RHS por lo tanto [matemáticas] P_ {k + 1} [/ matemáticas] es verdadero.

Como [math] P_1 [/ math] es verdadero y [math] P_ {k + 1} [/ math] es verdadero siempre que [math] P_k [/ math] es verdadero, [math] P_n [/ math] es verdadero

Answer 14

El rth término de la secuencia si observará será

Tr = r * r! = (R + 1-1) * r! = (R + 1)! – r!
Sn = (suma de r = 1 a r = n) r * r!
Sn = 2! -1! +3! -2! +4! -3! + ……… + (n + 1)! – n!
Sn = (n + 1)! – 1!

Answer 15

Realmente espero que esta no sea una especie de pregunta de tarea.

La prueba por inducción en el principal prueba el caso inicial de n = 1 (quizás a veces un poco más), para mostrar que funciona para el caso n-1 y luego muestra que el caso n también es cierto para extrapolarlo para que funcione todos los casos.

Entonces, en este caso, comenzando en n = 1:

1 * 1! = 1 * 1 = 1 = (1 + 1)! – 1 = 2! – 1 = 2 * 1 – 1 = 1

Vamos a mostrar esto para n = 2 también:

1 * 1! + 2 * 2! = 1 + 4 = 5 = (2 + 1)! – 1 = 3! -1 = 5

Entonces, si sabemos que el caso n -1 funciona, para probar el caso de n:

1 * 1! + 2 * 2! +… + (N-1) * (n-1)! + n * n! = (n-1 + 1)! – 1 + n * n!

= n! – 1 + n * n! = (n + 1) * n! – 1 = (n + 1)! -1

Answer 16

1.1! +2.2! +3.3! +. . . norte. n, = {n + 1)! Para n> _ = 1 por método de inducción.
Deje n = 1 entonces 1.1! = {1 + 1)! – 1 es cierto
Supongamos que el resultado es verdadero para n = k. Entonces
1,1! +2,2! +3,3! …… .. + kk! = (K + 1)! – 1 donde ‘k’ un entero
Probemos que el resultado es verdadero para k + 1
[1.1! +2.2! +3.3! + ……. + Kk!] + {K + 1). (K + 1)! = [{K + 1)! – 1] + {k + 1). (K +1)!
= {k + 1)! (1 + k + 1) -1
= {k + 1)! {k + 2) -1
= {k + 2)! – 1
Entonces el resultado es verdadero para k + 1 también. Entonces el resultado es verdadero para todos los tigres ‘n’

Answer 17

Insinuación:

Para todos [math] n \ geq 1 [/ math], tenemos [math] n \ cdot n! = (n + 1)! – n!. [/ math]

Fácil de probar si sabe que [matemáticas] n = (n + 1) -1. [/ Matemáticas]

A partir de ahí, obtienes una suma telescópica que produce el resultado deseado.

Answer 18

1.1! + 2.2! + 3.3! + … + nn!

Podemos escribir

(2-1) .1! + (3-1) .2! + (4-1) .3! +… + ((N + 1) -1) .n!

2! -1! + 3! -2! + 4! -3! +… + (N + 1)! – n!

¡Cancelamos todo, excepto (n + 1)! – 1!

Entonces, 1.1! + 2.2! + 3.3! + … + nn! = (n + 1)! – 1!

Answer 19

A2A.

Hubiera sido mejor si mencionaras lo que intentaste y dónde te quedaste atascado. Dado que este es un problema sencillo, y ya hay soluciones detalladas en este hilo, le daré un resumen de tales pruebas.

La idea principal de la inducción es la siguiente:
Usted demuestra que la afirmación es cierta para algún “caso base”. Aquí, esto corresponde a n = 1, que se puede mostrar trivialmente. Luego, asume que la afirmación es cierta para alguna k (“hipótesis de inducción”), y demuestra que esto implica que es cierta para (k + 1) (“paso de inducción”). Por lo tanto, combinando este resultado con el caso base, sabemos que debido a que es verdadero para 1, debe ser verdadero para 2. Nuevamente, debido a que es verdadero para 2, debe ser verdadero para 3, …

Answer 20

Esto es lo que quiero decir, no pienses en lo que es n, no importa. a * a! = 1 * 2 * 3 * … * a * a = 1 * 2 * 3 *…. * a * (a + 1) – 1 * 2 * 3 *…. * a * 1 = (a + 1)! – ¡una! Por lo tanto, la ecuación puede ser

(2! – 1!) + (3! – 2!) + (4! – 3!) +…. + [(n + 1)! – n!]

= (n + 1)! – 1

entonces

(n + 1)! – 1! = (n + 1)! – 1

Espero que esto pueda ayudar!