¿Cómo funciona el teorema fundamental del cálculo (FTC)?

Answer 1

El teorema fundamental del cálculo no dice que la diferenciación y la integración son operaciones inversas entre sí; Se necesita una formulación más precisa.

Preámbulo :
Entonces, supongo que sabes lo que es una integral. La formulación pura es la integral de Riemann (inf / sup sobre todas las particiones finitas de un intervalo), que usaré, pero esto es equivalente a la integral de Darboux que generalmente se enseña en la escuela secundaria (límite de particiones uniformes). Lo primero que demostramos acerca de las integrales es que las funciones continuas son integrables en intervalos compactos (esto se deduce del hecho de que la continuidad en un conjunto compacto implica una continuidad uniforme). Entonces, esto es genial, porque significa que nuestro objetivo de integración no es inmediatamente inviable, pero ¿cómo encontramos esto integral? FTC viene a jugar.

Parte I:

Thm : Supongamos que [math] f: [a, b] \ rightarrow \ mathfrak {R} [/ math] es integrable, [math] F: [a, b] \ rightarrow \ mathfrak {R} [/ math] es continuo en su dominio, y [math] F ‘= f [/ math] en el intervalo abierto [math] (a, b) [/ math]. Entonces [math] \ int ^ b_a {f} = F (b) -F (a) [/ math].

Esto nos da una forma inmediata de calcular las integrales cuando verificamos que se cumplen las condiciones de este teorema, sin eliminar las desigualdades sobre las particiones.

Parte II:

La parte I se refiere a los antiderivados de una función, pero ¿cómo sabemos que tales funciones existen?

Thm : Sea [math] f: [a, b] \ rightarrow \ mathfrak {R} [/ math] sea continuo en su dominio, luego para [math] g (x) = \ int ^ x_a {f} [/ math ] y [matemáticas] g ‘= f [/ matemáticas].

Pf. Ver:
¿Cómo demuestras el teorema fundamental del cálculo?

Answer 2

El FTC muestra que para cualquier intervalo continuo de una función, las operaciones integrales y derivadas son inversas entre sí. La academia Khan tiene una buena explicación: teorema fundamental del cálculo