Aaron Doman lo logró, pero déjame dar más detalles sobre la respuesta.
Imagine que tenía billetes de y dólares, y tenía que distribuirlos entre m personas, pero no tenía que darlos a todos. La cantidad de formas de hacer esta distribución es la respuesta a su pregunta. Como Aaron señaló, “no tiene que darlos todos” es lo mismo que decir que puede dar algunas de las facturas a una persona número 0 (por ejemplo, usted mismo). Entonces, el problema es el mismo que “de cuántas maneras puede distribuir billetes de un dólar entre m + 1 personas, donde los billetes son intercambiables. Darle a Alice un dólar y luego Bob un dólar es lo mismo que darle a Bob un dólar y luego darle a Alice un dolar.
Esto, a su vez, es igual a la cantidad de formas de escribir palabras de letras y usando las letras (0,1, … m), hasta la permutación. (OK, son números en lugar de letras, pero la idea es la misma. En lo que a mí respecta, 0183751 es una palabra de 7 letras). Es lo mismo que la cantidad de formas de escribir una palabra no decreciente usando las letras 0,1, … m, ya que siempre puedes poner las letras en orden, por ejemplo, 0113578. Sin embargo, al sumar 0 a la primera letra, 1 a el segundo, … y-1 al último, puede cambiar una palabra que no disminuye en una palabra estrictamente creciente, solo ahora en letras y + m, ya que la letra más alta posible es m + (y-1) y la letra más baja posible sigue siendo 0. (En el ejemplo actual, esto da 02369 (12) (14)) No es difícil ver que este proceso es reversible, restando (0,1,2, … y-1) de un giro de palabras estrictamente creciente en una palabra no decreciente.
Así que hemos cambiado nuestro problema a “¿cuántas palabras estrictamente crecientes de longitud y en letras m + y hay?” Pero esto es solo elegir qué y (o las posibilidades m + y) aparecen realmente. Entonces la respuesta es (m + y elige y). Eso también es lo mismo que (m + y) elige m.
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Como verificación, observe lo que sucede cuando m es 1 o 2. Cuando m = 1, tiene y + 1 posibilidades. Cuando m = 2, tiene (y + 1) (y + 2) / 2 = (y + 1) + y + (y-1) +… + 1 posibilidades.
Aaron, ¿qué son las “estrellas y bares”?