Si coloca (0,0) en el LHS es 0, entonces la desigualdad es 0 <0, lo que falla. Si diferencia, encuentra que ambas derivadas son cero en el origen y tiene un máximo local en el origen.
Aparte del origen, debe encontrar un radio de bola 0.1 funcionará. Puede hacer un diagrama de contorno 2x (-x / 2-y / 2-x ^ 2-xy) + 2y (-x / 4-y / 2-y ^ 2-xy / 2) para ver esto.
Expandir
[matemáticas]
-x ^ 2 – xy – 2 x ^ 3 – 2 x ^ 2 y – xy / 2 – y ^ 2 – 2 y ^ 3 – xy ^ 2 [/ matemática]
[matemáticas] = -2 x ^ 3 – 2 y ^ 3 -2 x ^ 2 y – xy ^ 2 -x ^ 2 – y ^ 2 – 3 xy / 2.
[/matemáticas]
Ahora suelte todos los términos cúbicos dejando solo la parte cuadrática
[matemática] -x ^ 2 – 3 xy / 2 -y ^ 2 [/ matemática], podemos hacer esto como para x pequeña, y dominan los términos cuadráticos. Voltear el letrero
[matemáticas] x ^ 2 + 3 xy / 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]
necesitamos mostrar que esta es una forma cuadrática definida positiva, es decir, de la forma [matemática] ax ^ 2 + bxy + cy ^ 2 [/ matemática] y es positiva para todas las x, y aparte del origen. Eso sucede si el discriminante [matemáticas] 4 ac – b ^ 2> 0 [/ matemáticas]. Aquí [matemáticas] 4 – (3/2) ^ 2> 0 [/ matemáticas] así que todo está bien.
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Esto no encuentra explícitamente el radio de la pelota, pero es suficiente para mostrar que existe.