La pregunta original es:
¿Cómo evalúo el límite [matemáticas] \ lim_ {x \ to \ infty} x (\ sqrt [n] {(x + 1) (x + 3) \ dots (x + 2n-1)} – xn) [ /matemáticas]?
Hice esta pregunta en Mathematics Stack Exchange y fue respondida por el usuario Robert Z aquí.
Aquí hay una solución que se basa en su respuesta:
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- Suponga que [math] X = \ {x_1, x_2, \ ldots, x_n \} [/ math] y [math] Y = \ {y_1, y_2, \ ldots, y_n \} [/ math] son tales que [math] x_1 \ leq x_2 \ leq \ ldots \ leq x_n [/ math] y [math] y_1 \ geq y_2 \ geq \ ldots \ geq y_n [/ math]. Deje que [math] Z = \ {z_1, z_2, \ ldots, z_n \} [/ math] sea cualquier permutación de los elementos de [math] Y [/ math]. ¿Por qué es [math] \ sum_i (x_i-y_i) ^ 2 \ geq \ sum_i (x_i-z_i) ^ 2 [/ math]?
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Tenga en cuenta que:
[matemáticas] \ sqrt [n] {(x + 1) (x + 3) \ dots (x + 2n-1)} = x \ sqrt [n] {\ left (1+ \ dfrac {A_n} {x} + \ dfrac {B_n} {x ^ 2} + O \ left (\ dfrac {1} {x ^ {3}} \ right) \ right)} [/ math],
donde [matemáticas] A_n = \ displaystyle \ sum_ {p = 1} ^ {n} (2p-1) = n ^ 2 [/ matemáticas] y
[matemáticas] B_n = \ displaystyle \ sum_ {p = 1} ^ n (p-1) ^ 2 (2p-1) = \ dfrac {n ^ {4}} {2} – \ dfrac {2n ^ {3} } {3} + \ dfrac {n} {6} [/ matemáticas].
[ Nota: Para simplificar las expresiones bajo el signo de suma, debemos crear y resolver un sistema de ecuaciones lineales para cada expresión; Dejo esto como un ejercicio para el lector]
Ahora, podemos convertir la expresión [matemáticas] \ sqrt [n] {\ left (1+ \ dfrac {A_n} {x} + \ dfrac {B_n} {x ^ 2} + O \ left (\ dfrac {1} {x ^ {3}} \ right) \ right)} [/ math] en una expresión de la forma [math] \ sqrt [n] {(1 + t)} [/ math], donde
[matemáticas] t = \ dfrac {A_n} {x} + \ dfrac {B_n} {x ^ 2} + O \ left (\ dfrac {1} {x ^ {3}} \ right) [/ math],
y use el hecho de que en [math] t \ to0 [/ math], la expansión en serie de [math] \ sqrt [n] {(1 + t)} [/ math] es
[matemáticas] 1+ \ dfrac {t} {n} + \ dfrac {1} {2n} \ left (\ dfrac {1} {n} -1 \ right) t ^ 2 + O (t ^ 3) [/ matemáticas].
[ Nota: Si intentamos tomar menos de dos y tres términos, respectivamente, de las expansiones de la serie de [math] t [/ math] y [math] \ sqrt [n] {1 + t} [/ math] eventualmente toparse con formas indeterminadas]
Por lo tanto tenemos:
[matemáticas] \ sqrt [n] {(x + 1) (x + 3) \ dots (x + 2n-1)} = x + n + \ left (\ dfrac {B_n} {n} – \ dfrac {n ^ 2 (n-1)} {2} \ right) \ dfrac {1} {x} + O \ left (\ dfrac {1} {x ^ {2}} \ right) [/ math]
y:
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} x (\ sqrt [n] {(x + 1) (x + 3) \ dots (x + 2n-1)} – xn) = \ dfrac {B_n } {n} – \ dfrac {n ^ 2 (n-1)} {2} [/ matemáticas].
Finalmente, podemos simplificar esta expresión:
[matemáticas] \ dfrac {B_n} {n} – \ dfrac {n ^ 2 (n-1)} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {2B_n-n ^ 3 (n-1)} {2n} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {n ^ {4} – \ dfrac {4n ^ {3}} {3} + \ dfrac {n} {3} -n ^ {4} + n ^ {3}} {2n} [ /matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {- \ dfrac {n ^ {3}} {3} + \ dfrac {n} {3}} {2n} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {n (1-n ^ {2})} {6n} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Longrightarrow \ dfrac {1-n ^ {2}} {6} [/ matemáticas]
Usando un motor matemático como Wolfram Alpha para calcular el límite de algunos valores de [math] n [/ math], podemos verificar que esto sea igual a [math] \ dfrac {1-n ^ {2}} {6} [ /matemáticas].
Espero que esto ayude.