La cohomología, en general, es una forma de producir invariantes de un espacio topológico u otro objeto matemático. Si no sabe qué es un espacio topológico, solo piense en una superficie en el espacio (potencialmente muy complicada) tal vez así:
El objetivo de una teoría de la cohomología es que es una máquina que toma un objeto, como una superficie, y devuelve una invariante algebraica. Si no tiene claro qué es un invariante algebraico (por ejemplo, un anillo o grupo), piense en él como un número. Entonces tienes una máquina que toma superficies y saca números. El poder de esto es que nos permite distinguir las superficies (o cualquiera que sea la entrada a la máquina). Si dos superficies diferentes resultan en dos números diferentes, entonces sabemos que no son la misma superficie. Esto puede parecer un poco estúpido, pero cuando sus superficies están adentro, oh no sé, 11, o un número infinito de dimensiones, realmente no puede visualizarlas. Pueden definirse de manera abstracta, de modo que es muy difícil obtener información sobre ellos.
El inconveniente, por supuesto, es que las teorías de cohomología a veces no pueden distinguir las cosas. En otras palabras, obtener el mismo número para dos objetos no significa necesariamente que sean el mismo objeto. Tal invariante se llamaría una invariante perfecta , y esas cosas son bastante difíciles de encontrar. Sin embargo, algunas teorías de cohomología son mejores que otras. En otras palabras, algunas máquinas son más fuertes que otras. En general, la compensación es que cuanto más fuerte sea su máquina, más difícil será calcularla , lo cual es algo difícil de explicar. Pero como con cualquier máquina, necesita algo de potencia, necesita girar la manivela. Por lo general, esa potencia proviene de hacer cálculos abstractos de álgebra, y cuanto más poderosa sea su máquina, ¡más trabajo tendrá que hacer para que funcione!
La respuesta anterior es realmente sobre cohomología desde el punto de vista de la topología algebraica, pero aparece en muchos más lugares. Lo más notable, quizás, en geometría algebraica. Ese es un lugar en el que la cohomología también calcula invariantes, pero a veces el objeto para el cual la cohomología está calculando invariantes es mucho más difícil de entender. Pero quizás solo diré lo siguiente: la cohomología de Galois es un caso especial de algo llamado “cohomología de descendencia”. El punto de descenso de la cohomología es que requiere algún tipo de cobertura (literalmente, como una superficie que se sienta sobre otra superficie) y cuenta la cantidad de formas en que un objeto que vive en la superficie superior podría descender a la superficie inferior. Esto parece raro, ¿verdad? A la luz de la conversación anterior, ¿cuál es el objeto cuyos invariantes estamos produciendo aquí? Bueno, la idea es que en realidad estamos calculando invariantes de algo llamado espacio de módulo. Entonces, el espacio cuyos invariantes estamos calculando no es una de las superficies en la cubierta, sino que es la superficie cuyos “puntos” son “formas de descender este objeto de la superficie superior a la superficie inferior”. Esto no está del todo claro si lee un texto estándar en, digamos, teoría de números algebraicos o teoría de Galois. Pero esto es indicativo de algo que sucede mucho en la geometría algebraica, que es que la cohomología es un dispositivo algebraico complejo que se puede usar para contar “la cantidad de formas” de hacer algo.
- Suponga que [math] X = \ {x_1, x_2, \ ldots, x_n \} [/ math] y [math] Y = \ {y_1, y_2, \ ldots, y_n \} [/ math] son tales que [math] x_1 \ leq x_2 \ leq \ ldots \ leq x_n [/ math] y [math] y_1 \ geq y_2 \ geq \ ldots \ geq y_n [/ math]. Deje que [math] Z = \ {z_1, z_2, \ ldots, z_n \} [/ math] sea cualquier permutación de los elementos de [math] Y [/ math]. ¿Por qué es [math] \ sum_i (x_i-y_i) ^ 2 \ geq \ sum_i (x_i-z_i) ^ 2 [/ math]?
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- Si [matemática] a, b, c [/ matemática] son tres coeficientes consecutivos en la expansión de [matemática] (1 + x) ^ n [/ matemática] entonces, ¿cómo demuestro que [matemática] n = \ frac {2 ac + b (a + c)} {b ^ 2 – ac} [/ math]?
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Lo último que quizás diré es lo siguiente: la forma más general de pensar sobre la cohomología es pensar que cuenta el número de “funciones” (para una generalización adecuada de la noción de una función) entre dos cosas. De nuevo, esto quizás no esté claro en la conversación anterior. Sin embargo, todas las discusiones anteriores pueden reformularse para hacer este tipo de conteo de “funciones” (realmente, en lugar de función, debería decir la palabra morfismo, pero esa no es una terminología familiar para la mayoría de los laicos). Entonces, tal vez el verdadero poder de la cohomología es que tiene todas estas interpretaciones diferentes, y una y otra vez parece que encontramos que las respuestas a preguntas matemáticas difíciles de la forma “cómo puedo hacer el hombre …” son respondidas por alguna teoría de la cohomología. .