¿Qué es [matemáticas] 1- \ frac {1} {4} + \ frac {1} {9} – \ frac {1} {16} + \ frac {1} {25} – \ frac {1} {36} + \ ldots- \ frac {1} {n ^ 2} [/ math]?

Answer 1

Si suponemos que queremos saber sobre el caso donde [math] n \ to \ infty [/ math], esto se parece mucho a la conocida identidad [math] 1 + 1/4 + 1/9 + \ ldots = \ pi ^ 2/6 [/ math] (problema de Basilea). Usaré esto para derivar la respuesta.

Deje [math] x = 1-1 / 4 + 1 / 9- \ ldots [/ math]

[matemáticas] \ pi ^ 2/6 – x [/ matemáticas]
[matemática] = (1 + 1/4 + 1/9 + \ ldots) – (1 – 1/4 + 1/9 – \ ldots) [/ math]
[matemáticas] = 2 (1/4 + 1/16 + 1/36 + \ ldots + 1 / (2n) ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1/2 (1 + 1/4 + 1/9 + \ ldots + 1 / n ^ 2) [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] 1/2 (\ pi ^ 2/6) = \ pi ^ 2/6 – x [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ pi ^ 2/12 [/ matemáticas]

Si, en cambio, queremos saber sobre el caso donde [math] n [/ math] es finito … hay algunas cosas interesantes que hacer, pero la forma exacta de la solución no se simplifica apreciablemente. Lo habitual sería hacer una descomposición parcial de la fracción en los términos de la serie, pero [math] 1 / n ^ 2 [/ math] no se descompone más.

[aparte]
Esto es diferente, por ejemplo, si los términos fueran de la forma [math] \ frac {1} {n ^ 2-1} [/ math], ya que esto se descompone en [math] \ frac {1/2} {n -1} – \ frac {1/2} {n + 1} [/ math] que nos permite calcular:

[matemáticas] \ sum_ {n = 2} ^ N \ frac {1} {n ^ 2-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {n = 2} ^ N \ frac {1/2} {n-1} – \ frac {1/2} {n + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 1/2 + 1/4 – 1 / (2N) – 1 / (2N + 1) [/ matemáticas]

desde la serie de telescopios descompuestos. Si bien esto nos da algunos límites en [matemáticas] 1 + 1/4 + 1/9 + \ ldots + 1 / n ^ 2 [/ matemáticas], no nos da ninguna pista sobre la forma alterna de la serie que En realidad nos importa.
[/aparte]

Entonces, ¿qué sabemos sobre [matemáticas] s_n = 1-1 / 4 + 1 / 9-1 / 16 + \ ldots \ pm 1 / n ^ 2 [/ matemáticas]? Bueno, para uno, para grandes [matemáticas] n [/ matemáticas], será aproximadamente [matemáticas] \ pi ^ 2/12 [/ matemáticas], de hecho, dado que es una serie alterna, [matemáticas] | s_n – \ pi ^ 2/12 | <1 / (n + 1) ^ 2 [/ matemáticas].

Answer 2

Esta es la serie alterna:

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} (- 1) ^ {n + 1} [/ matemáticas]

No estoy seguro de cómo hacer n + 1 en la notación matemática.

Voy a poner algunas sumas conocidas que ayudarán a calcular esta suma.

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 2} = \ frac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

La suma de todos los términos pares se puede escribir como:

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {\ infty} \ frac {-1} {(2n) ^ 2} = \ frac {- \ pi ^ 2} {24} [/ matemáticas]

Ahora:

[matemáticas] \ sum \ frac {1} {n ^ 2} + \ sum \ frac {-1} {(2n) ^ 2} + \ sum \ frac {-1} {(2n) ^ 2} = \ sum \ frac {1} {n ^ 2} (- 1) ^ {n + 1} [/ matemáticas]

Entonces, si agrego la suma de los términos pares negativos a la suma de los términos completos, entonces los términos pares se cancelarán. Si luego agrego la suma de los términos pares negativos nuevamente, entonces tenemos la secuencia anterior.

[matemáticas] => \ frac {\ pi ^ 2} {6} + \ frac {- \ pi ^ 2} {24} + \ frac {- \ pi ^ 2} {24} = \ frac {\ pi ^ 2 } {12} [/ matemáticas]

Tara!

Answer 3

– (pi ^ 2/12) + 1/4 (-1) ^ u (PolyGamma [1, (1 + u) / 2] – PolyGamma [1, (2 + u) / 2])