¿Cuál es el teorema fundamental del álgebra y qué dice?

Answer 1

El teorema fundamental del álgebra dice que si [math] p (x) [/ math] es un polinomio con coeficientes complejos, entonces existe algún número complejo [math] z [/ math] tal que [math] p (z) = 0 [/matemáticas].

Tenga en cuenta que cada número real es un número complejo, por lo que esto es igualmente cierto para polinomios con coeficientes reales (aunque [math] z [/ math] aún puede ser complejo para polinomios con coeficientes reales).

Una vez que un buen corolario es que cada polinomio complejo [matemático] p (x) [/ matemático] puede escribirse como [matemático] p (x) = K (x-a_1) (x-a_2)… (x-a_k) [/ matemática] donde [matemática] a_1, a_2,…, a_k [/ matemática] son ​​las raíces (no necesariamente distintas) de [matemática] p (x) [/ matemática] y [matemática] K [/ matemática] es una constante compleja . En palabras, cada polinomio complejo puede escribirse como un producto de factores constantes y lineales complejos.

Esto también implica que cada polinomio con coeficientes reales puede escribirse como un producto de factores constantes, lineales, * y cuadráticos * con coeficientes reales. Para ver esto, deje que [math] p (x) [/ math] sea un polinomio con coeficientes reales. Sabemos que podemos escribir [matemáticas] p (x) = K (x-a_1) (x-a_2) … (a-a_k) [/ matemáticas] donde todas [matemáticas] K, a_1, a_2, …, a_k [/ math] son ​​números complejos. [math] K [/ math] tiene que ser un número real (¿puedes ver por qué?). Ahora, si todas las [matemáticas] a_1, a_2, …, a_k [/ matemáticas] son ​​reales, hemos terminado. De lo contrario, tenga en cuenta que para cada raíz compleja [matemática] a_i = a + bi [/ matemática], [matemática] a-bi [/ matemática] también es una raíz compleja (para una prueba de esto, vea aquí, o simplemente resuélvala) por su cuenta, es una prueba bastante simple y una buena práctica para tratar con conjugados complejos). Entonces, tanto [math] (x-a_i) [/ math] como [math] (x- \ overline {a_i}) ​​[/ math] son ​​factores de [math] p (x) [/ math] (donde el overline denota el conjugado complejo) Pero [math] (x-a_i) (x- \ overline {a_i}) ​​= (x ^ 2 – (\ overline {a_i} + a_i) x + a_i \ times \ overline {a_i}) ​​[/ math]. Este es un polinomio cuadrático con coeficientes reales según se desee (la suma de un número complejo y su conjugado es un número real. Lo mismo ocurre con los productos).

Answer 2

Explicación simple del teorema fundamental del álgebra: es el número de raíces de cualquier polinomio algebraico igual a su grado.

Por ejemplo: un polinomio lineal ax + b, a no es = 0, tiene una raíz, ya que su grado es uno.

Un polinomio cuadrático ax² + bx + c, a no es = 0, tiene 2 raíces ya que su grado es 2.

Un polinomio cúbico ax ^ 3 + bx² + c, a no es = 0, tiene 3 raíces ya que su grado es 3…. continúa ……

Entonces, una función polinómica p (x) = ax ^ n + bx ^ (n-1) + cx ^ (n-2) + dx ^ (n-3) + …………… ..k, donde a no es = 0, tiene n raíces ya que su grado es ‘n’. Y sus coeficientes a, b, c, d … son números complejos reales y no reales.

Y cuando la variable x se reemplaza por su raíz, p (x) se vuelve igual a cero. Como si β es su raíz. Entonces p (β) = 0. Por lo tanto, las raíces también se llaman ceros del polinomio. Y los ceros de un polinomio son precisamente la coordenada x de los puntos, donde la gráfica interseca el eje x

Además, dice que, mientras representa los polinomios gráficamente de la siguiente manera, el gráfico del polinomio lineal es una línea recta, donde en cuanto a los polinomios no lineales, la representación será una parábola abierta hacia arriba o una parábola hacia abajo, dependiendo de si a> 0 o a < 0 0

Las figuras (1), (2), (3), (4) tienen 1 raíz real, 2 raíces reales, 3 raíces reales, 4 raíces reales respectivamente …

Pero no siempre se comportan de esta manera … en la figura (5) y la figura (6), parece que entra en conflicto con el teorema fundamental del álgebra. En estas 2 figuras, el gráfico es de polinomios cuadráticos, por lo que debe tener 2 raíces. Entonces, al extender nuestro sistema de números, decimos que la figura 5 tiene 2 raíces complejas no reales, que vienen en pares, se conjugan entre sí

De manera similar para el polinomio de tercer grado, podemos obtener 1 raíz real y 2 raíces complejas. Para el polinomio de cuarto grado, podemos obtener 2 pares de raíces complejas no reales …